論文の概要: Exact $T$-counts of CCZ layers from an isotropy bound

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.01024v2
• Date: Sun, 04 Oct 2026 02:20:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-07 04:43:28.511352
• Title: Exact $T$-counts of CCZ layers from an isotropy bound
• Title（参考訳）: 等方性境界からのCCZ層のexact$T$-counts
• Abstract要約: 並列Toffoli層の対角線コアであるCCZゲートが$m$不整合であることを示すには、正確に6m+1$T$ゲートが必要である。 これは一般の$m$に対して最適であるという最初の証明である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The $T$-count is a dominant cost of fault-tolerant Clifford$+T$ computation. We prove that a layer of $m$ disjoint CCZ gates, the diagonal core of a parallel Toffoli layer, needs exactly $6m+1$ $T$ gates in every Hadamard-free Clifford$+T$ circuit with clean ancillas. Campbell and Howard gave the matching construction, and to our knowledge this is the first proof that it is optimal for general $m$. The proof rests on a novel isotropy bound. When a gate's phase polynomial has only cubic terms, the vectors recording which $T$ gates touch each qubit span a self-orthogonal subspace over $\mathbb{F}_2$, and this forces the $T$-count to be at least twice its dimension. This argument gives a lower bound, computable by Gaussian elimination, on the $T$-count of every diagonal gate in the third level of the Clifford hierarchy. It is never below the stabilizer nullity $ν$ and reaches $2ν+1$ on non-Clifford cubic gates. No bound that also holds for circuits with measurement and feedforward can do this, since such circuits implement CCZ ($ν=3$) with four $T$ gates, while the floor gives seven. It also recovers Campbell and Howard's count $4m+3$ for a fan-out of Toffolis. On the output of PyZX's TODD-based optimizer, relative to its Hadamard placement, it certifies $193$ of $311$ phase-polynomial blocks $T$-optimal, against $113$ for nullity, including $37$ of the $72$ blocks too large for exhaustive search.
• Abstract（参考訳）: T$-countは、フォールトトレラントなClifford$+T$計算の主要なコストである。 並列Toffoli層の対角線コアであるCCZゲートの$m$解離の層は、Adamard-free Clifford$+T$回路ごとに6m+1$T$ゲートが必要であることを証明している。 キャンベルとハワードは一致する構成を与え、我々の知る限り、これは一般の$m$に対して最適であることを示す最初の証明である。 この証明は、新しい等方性境界に基づいている。 ゲートの位相多項式が立方項しか持たないとき、各キュービットに接触する$T$ゲートを記録するベクトルは、$\mathbb{F}_2$を超える自己直交部分空間にまたがる。 この議論は、クリフォード階層の第3層のすべての対角ゲートの$T$カウントにおいて、ガウスの排除によって計算可能な下界を与える。 安定化子ヌルティ$ν$以下にはならず、非クリフォード立方ゲート上で2ν+1$に達する。 これらの回路はCCZ(ν=3$)を4つのT$ゲートで実装し、フロアには7つの権限がある。 また、キャンベルとハワードの4万ドル+3ドルをトフォリスのファンアウトで回収した。 PyZXのTODDベースのオプティマイザの出力は、そのアダマール配置と比較して、193$311$の位相ポリノミカルブロック$T$-optimalと113$のnullを保証している。

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