論文の概要: The Implicit Bias of Hyperbolic Representation Learning for Multiclass Data: A Busemann Risk Perspective

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.07131v1
• Date: Mon, 05 Oct 2026 17:58:08 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 02:58:29.571006
• Title: The Implicit Bias of Hyperbolic Representation Learning for Multiclass Data: A Busemann Risk Perspective
• Title（参考訳）: 多クラスデータにおける双曲表現学習の必然的バイアス:ブセマンリスクの観点から
• Abstract要約: 双曲空間$mathbbHn$における固定クラスプロトタイプを用いた双曲型多クラス分類の勾配流について検討する。 我々のフレームワークは、クロスエントロピーやその他の標準マルチクラス損失を含むクラスであるPERM(General Permutation Invariant relative margin)損失に対応している。 境界方向は、$partialmathbbHn$ 上のブセマンリスクの臨界点に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 43.90380573658746
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the implicit bias of Riemannian gradient flow for hyperbolic multiclass classification with fixed class prototypes in hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. Our framework accommodates general permutation invariant relative margin (PERM) losses, a class that includes cross entropy and other standard multiclass losses. Our analysis is based on a decomposition: at large radius, the distance to each prototype splits into a radial term and a direction-dependent term described by the Busemann function. This yields two main results. First, we prove a radial dichotomy: the sign of a drift coefficient $μ$ determines whether the radius is pushed toward the ideal boundary or back toward the interior; if the positive drift persists, then $r(t)=\frac{1}{2}\log t+O(1)$, while persistent negative drift returns the trajectory to the large-radius threshold in finite time. Second, we show that the boundary direction converges to a critical point of the Busemann risk on $\partial\mathbb{H}^n$. These results provide a rigorous asymptotic perspective on two phenomena we refer to as boundary saturation and near-boundary clustering in hyperbolic representation learning.
• Abstract（参考訳）: 双曲空間 $\mathbb{H}^n$ における固定クラスプロトタイプを用いた双曲型多クラス分類に対するリーマン勾配流の暗黙バイアスについて検討する。 我々のフレームワークは、クロスエントロピーやその他の標準マルチクラス損失を含むクラスであるPERM(General Permutation Invariant relative margin)損失に対応している。 我々の解析は、大半径では、各プロトタイプの距離は、放射項とブセマン函数によって記述される方向依存項に分裂する。 これは2つの主要な結果をもたらす。 まず、ラジアル二分法を証明し、ドリフト係数の符号$μ$は、半径が理想的な境界に向かって進んでいるか、内方へ後退しているかを決定し、正のドリフトが持続すると、$r(t)=\frac{1}{2}\log t+O(1)$ となる。 第二に、境界方向は、$\partial\mathbb{H}^n$ 上のブセマンリスクの臨界点に収束することを示す。 これらの結果は、双曲表現学習における境界飽和と近接境界クラスタリングという2つの現象に関する厳密な漸近的視点を与える。

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