論文の概要: Data, Numbers, and Geometry: Three Tutorials on Numerical Methods, Machine Learning, and Evaluation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.07220v1
- Date: Mon, 05 Oct 2026 18:29:40 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-08 02:58:29.597065
- Title: Data, Numbers, and Geometry: Three Tutorials on Numerical Methods, Machine Learning, and Evaluation
- Title（参考訳）: データ、数、幾何学:数値的手法、機械学習、評価に関する3つのチュートリアル
- Abstract要約: 本稿では,数理研究のための数値計算と機械学習の実践的チュートリアルを3つ提示する。
このチュートリアルは2026年4月にバンフ国際研究所で行われたDANGER: Data, Numbers, Geometryワークショップのために開発された。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present three practical tutorials on numerical computation and machine learning for mathematical research, developed for the DANGER: Data, Numbers, and Geometry workshop held at the Banff International Research Station in April 2026. The first develops a numerical approach to exterior calculus from pointwise evaluations of differential forms, using a flux formulation of the exterior derivative. Examples in Euclidean space and on the sphere illustrate geometric identities, topological features, and the effects of approximation and finite precision. The second examines how mathematical structure guides neural network design through examples involving elliptic curves, quivers, and a boundary value problem. It explores how architectural choices affect learning and uses interval arithmetic to bound the residual of a trained network over the full interval of the boundary value problem. The third addresses the evaluation and presentation of machine learning results, covering performance metrics, statistical uncertainty, classification thresholds, receiver operating characteristic curves, and accessible figure design. Throughout, the tutorials distinguish numerical agreement, predictive accuracy, structural guarantees, and rigorous bounds as different forms of evidence. Each contribution can be read independently, with accompanying notebooks and exercises that allow readers to reproduce the examples and adapt the methods to other problems.
- Abstract（参考訳）: 2026年4月にバンフ国際研究所で行われたデータ,数値,幾何学ワークショップにおいて,数値計算と機械学習による数学的研究の実践的な3つのチュートリアルについて述べる。
第一に、微分形式の点評価から外微分のフラックス定式化を用いた外微分計算への数値的アプローチを開発する。
ユークリッド空間や球面上の例は幾何学的アイデンティティ、位相的特徴、近似と有限精度の影響を描いている。
2つ目は、楕円曲線、クイバー、境界値問題を含む例を通して、数学的構造がニューラルネットワーク設計をどのように導くかである。
アーキテクチャの選択が学習にどのように影響するかを考察し、境界値問題の全区間にわたってトレーニングされたネットワークの残余をインターバル算術を用いてバウンダリする。
3つ目は、パフォーマンス指標、統計的不確実性、分類しきい値、受信機動作特性曲線、アクセシブルフィギュアデザインなど、機械学習結果の評価と提示についてである。
チュートリアルは、数値的な一致、予測精度、構造的保証、厳密な境界を異なる形の証拠として区別する。
それぞれのコントリビューションは独立して読むことができ、ノートブックやエクササイズが付属することで、読者はサンプルを再現し、他の問題にメソッドを適用することができる。
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