論文の概要: Quantum Algorithms for Multivariable Polynomial Transformations: From Efficient Synthesis to Quantum Channel Transformations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.08714v1
• Date: Tue, 06 Oct 2026 17:22:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 02:58:30.145053
• Title: Quantum Algorithms for Multivariable Polynomial Transformations: From Efficient Synthesis to Quantum Channel Transformations
• Title（参考訳）: 多変数多項式変換のための量子アルゴリズム:効率的な合成から量子チャネル変換へ
• Abstract要約: 多対数変換は量子アルゴリズムの基本的なプリミティブである。 多変数変換に対する完全な構成的理論を開発する。 我々のフレームワークは、チャネル量子変換に多変量合成を持ち上げることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.898719327631078
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Polynomial transformations are basic primitives in quantum algorithms: quantum signal processing and singular value transformation compile univariate polynomials into circuits with query complexity essentially set by degree. Multivariable transformations of noncommuting matrices, however, lack a comparable synthesis theory. We develop a complete constructive theory under joint block access for all polynomials contractive on the prescribed matrix domain. Given a compact finite-state description of a degree-$D$ polynomial $P$ and $0<τ<1$, we synthesize $P$ with $(1+τ)$-optimal normalization using $O(D/\sqrtτ)$ queries, and exactly $D$ under row-block access, matching a degree lower bound. The complete circuit realization is classically computable in polynomial time with polylogarithmic dependence on accuracy. The key to our construction is a finite algorithmic Schur--Agler theorem: the coefficient recurrence defines a polynomial-dimensional continuation space supporting a complete semidefinite certificate for contractivity on the prescribed domain. Factoring this certificate yields the contractive realization underlying the query algorithm. Beyond matrix transformations, our framework lifts multivariable polynomial synthesis to quantum channel transformations. Given coherent Kraus access $K=\{K_a\}_a$, we synthesize any finite jointly contractive family of noncommutative polynomial maps $K\mapsto\{F_b(K)\}_b$ as completely positive operations, allowing coherent interference among Kraus histories. Furthermore, channel-level transformations specified by causal Choi data can be synthesized explicitly as fixed-order quantum combs. Collectively, these results point to a broader program: multivariable approximation as a language for multi-operator quantum algorithms and higher-order quantum information processing.
• Abstract（参考訳）: 量子信号処理と特異値変換は、本質的に次数によって設定されるクエリ複雑性を持つ回路に一変量多項式をコンパイルする。 しかし、非可換行列の多変数変換は、同値な合成理論を欠いている。 我々は、所定の行列領域上で収縮するすべての多項式に対して、ジョイントブロックアクセスの下で完全な構成理論を開発する。 次数-$D$多項式$P$と$0<τ<1$のコンパクト有限状態記述が与えられたとき、$O(D/\sqrtτ)$クエリを使って$(1+τ)$-最適正規化を$P$に合成し、正確に$D$を行ブロックアクセスの下で行ブロック境界に合わせる。 完全回路実現は多項式時間で古典的に計算可能であり、精度には多対数依存がある。 我々の構成の鍵は有限アルゴリズムシュル=アグラーの定理(英語版)である: 係数反復は、所定の領域上の収縮性の完全半有限証明をサポートする多項式次元連続空間を定義する。 この証明書を分解すると、クエリアルゴリズムの基盤となる契約的実現が得られる。 行列変換以外にも、我々のフレームワークは多変数多項式合成を量子チャネル変換に引き上げる。 コヒーレント・クラウスアクセス$K=\{K_a\}_a$ が与えられたとき、非可換多項式写像$K\mapsto\{F_b(K)\}_b$ の有限可換族を完全正の演算として合成し、クラスの歴史間のコヒーレント干渉を可能にする。 さらに、因果Choiデータによって指定されたチャネルレベルの変換は、固定階量子コムとして明示的に合成することができる。 これらの結果は、多変数の量子アルゴリズムと高次量子情報処理のための言語としての多変数近似という、より広範なプログラムを指し示している。

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