論文の概要: The Geometry of Anisotropic Dilation for Optimal Regularization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.09310v1
• Date: Wed, 07 Oct 2026 02:08:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-08 21:58:22.6796
• Title: The Geometry of Anisotropic Dilation for Optimal Regularization
• Title（参考訳）: 最適正則化のための異方性拡張の幾何学
• Abstract要約: データ駆動逆問題における中心的な問題は、データ分布の幾何学に適応する正規化器を構築する方法である。 我々は、ユークリッド線に沿った各点を球面上の正のプロファイルで再スケールする方向保存写像である異方性拡張を導入する。 我々は,基本正規化器と異方性プロファイルをパラメータ化してサンプルから共同で学習し,変分逆問題に対するデータ適応正規化器を生成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.681760167323748
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A central question in data-driven inverse problems is how to construct a regularizer that adapts to the geometry of the data distribution. Recent work in optimal regularization shows that, within a broad Gibbs class, the regularizer best matched to a distribution $P$ is determined by a single, direction-dependent radial summary statistic $ρ_P$. This suggests a way to control regularizer geometry by transforming the data. In particular, which transformations act on $ρ_P$ in a simple, explicit way? Can they improve the optimization properties of the resulting variational problems or adapt a fixed base regularizer to data? To address these questions, we introduce anisotropic dilation, a direction-preserving map that rescales each point along its Euclidean ray by a positive profile on the sphere. Despite its simplicity, this family acts transitively on the space of radial summary statistics: any target regularizer in the Gibbs class can be reached from any source distribution by a single explicit profile. We characterize the resulting orbit structure on distributions, derive in closed form the profile that optimally adapts a fixed base regularizer to the data, and show that its improvement over isotropic rescaling is governed by a Jensen gap that is provably positive for several natural families. We also establish finite-sample generalization bounds for jointly learning the base regularizer and anisotropic profile, with explicit rates when the logarithm of the profile is parameterized by linear feature models or sparse ReLU networks. Building on this theory, we parameterize the base regularizer and anisotropic profile and learn them jointly from samples, yielding a data-adaptive regularizer for variational inverse problems. Experiments on a controlled two-dimensional family and MNIST denoising show that learning the profile further improves performance.
• Abstract（参考訳）: データ駆動逆問題における中心的な問題は、データ分布の幾何学に適応する正規化器を構築する方法である。 最適正則化における最近の研究は、広義のギブズ類において、正規化器が分布$P$に最もよく一致するのは、1つの方向依存ラジアル要約統計学$ρ_P$によって決定されることを示している。 これは、データを変換することで正規化器の幾何学を制御する方法を示している。 特に、単純で明示的な方法で$ρ_P$に作用する変換は? 彼らは結果の変動問題の最適化特性を改善したり、固定ベース正規化器をデータに適用できるだろうか? これらの問題に対処するために、ユークリッド線に沿った各点を球面上の正のプロファイルで再スケールする方向保存写像である異方性拡張を導入する。 単純さにもかかわらず、この族はラジアルサマリー統計の空間に推移的に作用し、ギブス級の任意の対象正則化子は、単一の明示的なプロファイルで任意のソース分布から到達することができる。 分布上の軌道構造を特徴付け、固定基底正則化器を最適にデータに適応するプロファイルをクローズドに導出し、等方的再スケーリングによる改善がいくつかの自然ファミリーに対して証明可能な正のジェンセンギャップによって制御されていることを示す。 また,線形特徴モデルやスパースReLUネットワークによってプロファイルの対数がパラメータ化される場合,基本正規化器と異方性プロファイルを併用して学習するための有限サンプル一般化境界を確立する。 この理論に基づいて、基底正規化器と異方性プロファイルをパラメータ化し、サンプルから共同で学習し、変分逆問題に対するデータ適応正規化器を生成する。 制御された2次元ファミリとMNIST復調実験により,プロファイルの学習により性能が向上することが示された。

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