論文の概要: Explicit reduced APN permutations: ramification and optimal Galois-ring lifts

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.21178v1
• Date: Thu, 15 Oct 2026 03:34:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-16 19:13:16.162349
• Title: Explicit reduced APN permutations: ramification and optimal Galois-ring lifts
• Title（参考訳）: APN置換の明示的低減:分岐と最適ガロアリングリフト
• Abstract要約: 3le rm$と$gcd(r,m)=1$を持つ任意の奇数$に対して、削減された$P_m,r=mathrmred(T_r3)2m-2を与える。 最適なAPN置換 $p$ of $mathbbF_q$, every $kge2$, every lift $F$ of $p$ to $mathrmGR (2k,m)$ は単項ではない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Let $m\ge5$ be odd and $q=2^m$. For every odd $r$ with $3\le r<m$ and $\gcd(r,m)=1$ we give the reduced polynomial $P_{m,r}=\mathrm{red}((T_r^3)^{2^{m-2}})$, $T_r=\sum_{i<r}X^{2^i}$, explicitly: it has coefficients in $\mathbb{F}_2$ and exactly $3r-2$ terms, it is an APN permutation of $\mathbb{F}_q$, and its formal derivative $1+X^{2^{r-2}}+X^{2^{m-2}}$ has no zero on $\mathbb{F}_q$ and is two-to-one. We determine the ramification of $P_{m,r}$ as a map of the projective line for all admissible $(m,r)$: there are $2^{m-r}$ finite ramification points, all wild, with index and different exponent $2^{r-2}$, all over the single finite branch value $1$. The $0/1$ lift of $P_{m,r}$ satisfies an identity in $\mathbb{Z}[X]$ that evaluates it over every Galois ring $\mathrm{GR}(2^k,m)$ with $m-1$ squarings, one general multiplication and $r+5$ additions or subtractions. For every quadratic optimal APN permutation $p$ of $\mathbb{F}_q$ (in particular $P_{m,r}$), every $k\ge2$ and every coefficient lift $F$ of $p$ to $\mathrm{GR}(2^k,m)$, we determine the differential rows of $F$ exactly in the unit directions whose residue lies outside the kernel $\{0,ρ\}$ of the linear part of $p'$ (they are the residue rows of $p$; $ρ=1$ for $P_{m,r}$) and in the directions in $2^{k-1}\mathrm{GR}(2^k,m)\setminus\{0\}$ (every nonzero entry equals $2q^{k-1}$). We also give a self-contained proof of the Li--Wang criterion for a Gold function plus a linearised polynomial, which explains why the inner map of $P_{m,r}$ is not a monomial, and record a two-word, two-layer transition that a simple linear layer forbids at the residue level.
• Abstract（参考訳）: m\ge5$ を奇数とし、$q=2^m$ とする。 任意の奇数$r$に対して$3\le r<m$と$\gcd(r,m)=1$は減多項式$P_{m,r}=\mathrm{red}((T_r^3)^{2^{m-2}})$, $T_r=\sum_{i<r}X^{2^i}$, 明示的には$\mathbb{F}_2$と正確に$3r-2$の係数を持ち、$\mathbb{F}_q$のAPN置換であり、その形式的微分である$+X^{2^{r-2}}+X^{2^{m-2}} は $\mathbb{F}_q$にゼロがなく、2対1である。 P_{m,r}$ をすべての許容可能な $(m,r)$ に対する射影直線の写像として決定する: 2^{m-r}$ 有限分岐点が存在し、指数と異なる指数の $2^{r-2}$ が全て 1 つの有限分岐値に対して 1 ドルである。 0/1$ lift of $P_{m,r}$ は、すべてのガロア環 $\mathrm{GR}(2^k,m)$ で評価する $\mathbb{Z}[X]$ の恒等式を満たす。 任意の二次最適APN置換 $p$ of $\mathbb{F}_q$ (特に$P_{m,r}$), every $k\ge2$ and every coefficient lift $F$ of $p$ to $\mathrm{GR}(2^k,m)$, we determine the differential rows of $F$ in exactly in the unit direction that root $\{0,ρ\}$ of the linear part of $p'$ (これらは$p$; $ρ=1$ for $P_{m,r}$) and in the direction in $2^{k-1}\mathrm{GR}(2^k,m)\setminus{0\$ (yzer non entrys^{k-1}$)。 また、金函数と線型多項式に対するLi-Wang criterionの自己完備な証明を与え、なぜ$P_{m,r}$ の内部写像が単項でないのかを説明し、単純線型層が残余レベルで分岐する2ワードの2層遷移を記録する。

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