論文の概要: Certified neural approximations for parabolic obstacle problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.24202v1
- Date: Fri, 16 Oct 2026 20:23:13 GMT
- ステータス: 情報取得中
- システム内更新日: 2026-10-20 11:41:26.011615
- Title: Certified neural approximations for parabolic obstacle problems
- Title（参考訳）: パラボラ障害問題に対する認証された神経近似
- Abstract要約: 残留訓練されたニューラルサロゲートはエラー保証を持たない。
我々は1次状態--flux--multiplierにおけるパラボラ障害問題の神経近似に対する誤差境界を導出する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: Residual-trained neural surrogates carry no error guarantee, a limitation for free-boundary problems such as phase change and contact. We derive guaranteed error bounds for neural approximations of parabolic obstacle problems in first-order state--flux--multiplier form. The main result bounds the flux error of the network and the energy error of its feasible projection $\max\{v,g\}$ by the constitutive residual, the initial mismatch, the complementarity defect, and the PDE residual weighted by $c_F^2/α$, without the coercivity and norm-equivalence constants of the first-order formulation. It extends the Apushkinskaya--Repin majorant for the heat operator to general coefficients, free multipliers and a flux bound. A penetration-consistency result shows that neural triples with arbitrarily small bound exist. Outward-rounded cellwise Taylor-model enclosures turn the bound into a finite computation valid on any adaptive partition. The flux and gradient errors of the projected output are certified below $0.27$ and $0.33$ of the solution scale for a one-dimensional Stefan problem and, after adaptive refinement, below one half for all three trained networks on a two-dimensional expanding disk. On an expanding ellipse the gradient bound stays above one half; substitution diagnostics trace the floor of the trained networks to the projected state near the free boundary, and the remaining gap to enclosure overhead. Without a closed-form solution, a validated lower bound replaces the solution norm; there the enclosure is nearly exact, but the trained networks have errors above the solution scale and no useful accuracy is certified. The bounds control a state--flux norm, not the multiplier or the free-boundary location.
- Abstract（参考訳）: 残留訓練されたニューラルサロゲートにはエラー保証がなく、位相変化や接触などの自由境界問題に対する制限がある。
我々は1次状態--flux--multiplier形式におけるパラボラ障害物問題のニューラル近似の誤差境界を導出する。
主な結果は、ネットワークのフラックス誤差と、その実現可能な射影のエネルギー誤差を、構成的残差、初期ミスマッチ、相補的欠陥、およびPDE残差が$c_F^2/α$で重み付けされ、一階定式化の保磁力やノルム等価定数を伴わない。
熱作用素のアプシキンスカヤ-レピン主成分を一般係数、自由乗数、フラックス境界まで拡張する。
侵入一貫性の結果は、任意に小さな境界を持つ神経三重項が存在することを示している。
外周のセルワイド・テイラー-モデル囲いは、任意の適応的分割に対して有効な有限計算へと境界を転換する。
予測された出力のフラックスと勾配の誤差は、1次元のステファン問題に対する解スケールの0.27ドルと0.33ドル以下で証明され、適応的な改善の後、2次元拡張ディスク上の3つのトレーニングネットワーク全体の半分以下となる。
置換診断では、訓練されたネットワークの床を自由境界付近の投射状態まで追跡し、残りの空隙を囲む。
閉形式解がなければ、検証された下限は解ノルムに取って代わる; 囲いはほぼ正確であるが、訓練されたネットワークは解スケール以上の誤差を持ち、有効な精度は証明されない。
境界は、乗数や自由境界位置ではなく、状態-流束ノルムを制御する。
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