論文の概要: Quantum algorithm for high-dimensional nonlinear stochastic differential equations based on Carleman linearization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.27416v1
- Date: Tue, 20 Oct 2026 00:12:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-21 21:58:47.556455
- Title: Quantum algorithm for high-dimensional nonlinear stochastic differential equations based on Carleman linearization
- Title（参考訳）: カールマン線形化に基づく高次元非線形確率微分方程式の量子アルゴリズム
- Abstract要約: 我々は、$mathbfX_totimes j$を近似する補助過程を導入し、SDEの線形化系を導出し、それらの期待を管理する線形常微分方程式(ODE)を得る。
SDEの非線形項と雑音項が線形項と比較して十分に小さくなると、CL誤差はCLのトラルニケートオーダー$J$で指数関数的に減少する。
また、Langevinのダイナミクスに関連するSDEの数値的な実演を行い、CL誤差の指数的減衰を$J$の増加として観察する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Addressing nonlinear numerical problems in quantum computing remains challenging, but several approaches, including Carleman linearization (CL), have been proposed to construct quantum algorithms for such problems. In this work, we develop a CL-based method for a high-dimensional nonlinear stochastic differential equation (SDE) $\mathrm{d} \mathbf{X}_t = \left(A(t) \mathbf{X}_t + F(t) \mathbf{X}_t^{\otimes s}\right) \mathrm{d} t + B(t) \mathrm{d} \mathbf{W}_t$ for an $\mathbb{R}^N$-valued random process $\mathbf{X}_t$, aiming at quantum speed-up with respect to the dimension $N$. We introduce auxiliary processes $\mathbf{Y}^j_t$ that approximate $\mathbf{X}_t^{\otimes j}$, derive a linearized system of SDEs for them, and obtain the linear ordinary differential equation (ODE) governing their expectations. We then apply a quantum ODE solver to it and, from the resulting quantum state, extract an estimate for the expectation of a linear function of $\mathbf{X}_t$ by overlap estimation. We show that, provided the nonlinear and noise terms in the SDE are sufficiently small relative to the linear term, the CL error decreases exponentially with the truncation order $J$ in CL, and we can estimate the target expectation with a ${\rm polylog}(N)$ number of queries to unitaries encoding coefficient matrices $A$, $F$, and $B$. Finally, we also run a numerical demonstration for an SDE related to Langevin dynamics, observing the exponential decay of the CL error as $J$ increases.
- Abstract（参考訳）: 量子コンピューティングにおける非線形数値問題への対処は依然として難しいが、カルマン線形化(CL)を含むいくつかの手法がそのような問題に対して量子アルゴリズムを構築するために提案されている。
本研究では,高次元非線形確率微分方程式 (SDE) $\mathrm{d} \mathbf{X}_t = \left(A(t) \mathbf{X}_t + F(t) \mathbf{X}_t^{\otimes s}\right) \mathrm{d} t + B(t) \mathrm{d} \mathbf{W}_t$ for a $\mathbb{R}^N$-valued random process $\mathbf{X}_t$。
補助過程 $\mathbf{Y}^j_t$ を近似する $\mathbf{X}_t^{\otimes j}$ を導入し、それらのSDEの線形化系を導出し、それらの期待を管理する線型常微分方程式(ODE)を得る。
次に、量子ODEソルバを適用し、その結果の量子状態から、重複推定により$\mathbf{X}_t$の線形関数の期待値の推定を抽出する。
SDEの非線形項と雑音項が線形項と比較して十分に小さい場合、CL誤差はCLのトランニケーションオーダー$J$で指数関数的に減少し、係数行列を符号化するユニタリへのクエリ数${\rm polylog}(N)$$$$$$$A$,$F$,$B$で推定できることが示される。
最後に、Langevinのダイナミクスに関連するSDEの数値的なデモを行い、CL誤差の指数的減衰を$J$の増加として観察する。
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