論文の概要: A Regularity Condition Under Which a CPAB Transformation is a Diffeomorphism

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.32369v1
• Date: Fri, 23 Oct 2026 08:59:16 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-27 01:38:06.441441
• Title: A Regularity Condition Under Which a CPAB Transformation is a Diffeomorphism
• Title（参考訳）: CPAB変換が微分同相である正則性条件
• Abstract要約: 連続ピースワイドアフィン変換(Continuous Piecewise-Affine Based (CPAB) transformations)は、連続ピースワイドアフィン(CPA)速度場を統合することによって得られる流れである。 これらの変換は、非線形時間ゆらぎや1次元でのトレーニング可能なアクティベーション関数、および2次元および3次元における非剛性空間変形などの用途で有用であることが証明されている。 このノートは、CPAB変換が微分同相であることが保証される十分な正則性条件を特定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.407933796998812
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Continuous Piecewise-Affine Based (CPAB) transformations, introduced by Freifeld et al. (2015, 2017), are flows obtained by integrating continuous piecewise-affine (CPA) velocity fields. These expressive transformations have proven useful in applications including nonlinear temporal warping and trainable activation functions in 1D, as well as nonrigid spatial deformations in 2D and 3D. While computational costs were not an issue in 1D, they originally limited the practical expressiveness of CPAB transformations in higher dimensions, especially in 3D. Our recent work (Aflalo et al., 2026) removed this bottleneck, enabling efficient optimization with much finer tessellations and substantially greater expressiveness. There is, however, a mathematical subtlety that was overlooked in the original CPAB papers (Freifeld et al., 2015, 2017). CPAB transformations are always bi-Lipschitz homeomorphisms, implying that both the transformations and their inverses are differentiable almost everywhere. They are not, however, necessarily diffeomorphisms. This note remedies the omission by identifying sufficient regularity conditions under which a CPAB transformation is guaranteed to be a diffeomorphism. We explain how differentiability can fail and how the proposed conditions prevent this failure. In 1D and 2D, we show that these conditions can be easily enforced and, for commonly used tessellations, hold with probability one under standard sampling assumptions. We expect analogous behavior in 3D.
• Abstract（参考訳）: Freifeld et al (2015, 2017) によって導入された連続ピースワイドアフィン (CPAB) 変換は、連続ピースワイドアフィン (CPA) 速度場を統合することによって得られるフローである。 これらの表現的変換は、非線形時間歪みや1次元におけるトレーニング可能なアクティベーション関数、および2次元および3次元における非剛性空間変形などの用途で有用であることが証明されている。 計算コストは1Dでは問題ではなかったが、元々はCPAB変換の高次元、特に3Dでの実用的表現性を制限していた。 我々の最近の研究 (Aflalo et al , 2026) は、このボトルネックを排除し、より微細なテッセルレーションと、はるかに高い表現性で効率的な最適化を可能にした。 しかし、元のCPAB論文(Freifeld et al , 2017)で見落とされた数学的微妙さがある。 CPAB変換は常に双リプシッツ同型であり、変換とそれらの逆変換がほぼ至るところで微分可能であることを示唆している。 しかし、それらは必ずしも微分同相ではない。 このノートは、CPAB変換が微分同相であることが保証される十分な正則性条件を特定することにより、省略を是正する。 我々は、差別化がいかに失敗するか、提案された条件がいかにこの失敗を防げるかを説明する。 1Dおよび2Dでは、これらの条件は容易に強制できることを示し、一般的に使用されるテッセルレーションでは、標準サンプリング仮定の下で確率1で保持する。 我々は3Dで類似の振る舞いを期待する。

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