論文の概要: Boundary Geometry Determines Optimal Shallow ReLU Approximation under Weighted Coefficient Constraints

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.36854v1
• Date: Tue, 27 Oct 2026 08:51:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-28 21:04:31.548482
• Title: Boundary Geometry Determines Optimal Shallow ReLU Approximation under Weighted Coefficient Constraints
• Title（参考訳）: 重み付き係数制約下での最適Shallow ReLU近似の境界幾何学による決定
• Abstract要約: 境界幾何学は凸体上の浅いReLUニューラルネットワークによる近似$Lq$に影響を与える。 任意の凸体に対して上下境界を確立する。 境界幾何学は, 次元, 誤差ノルム, 重み付けが固定された場合でも最適指数を変化させることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.820614736576814
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study how boundary geometry affects $L^q$ approximation by shallow ReLU neural networks on convex bodies $K\subset\mathbb R^d$. The target classes are unit balls of weighted variation spaces that can enlarge classical spaces by incorporating domain geometry into constraints on output coefficients. We establish upper and lower bounds for arbitrary convex bodies and determine the optimal polynomial approximation exponents for all planar convex bodies and their products with polytopes, including cubes and circular cylinders. For $C^2$ convex bodies, we determine the optimal exponents in a dimension-dependent range of $q$ extending beyond $2$. When all principal curvatures are positive, the result extends to every finite $q\ge2$. For these classes, the dependence of the optimal exponent on the domain is captured by a single geometric growth exponent associated with small boundary caps. We also identify sharp weight thresholds for retaining the classical approximation exponent and improve previous weights on Euclidean balls while preserving the classical $L^2$ approximation rate. When the target is given as a finite ReLU network, the upper bounds can be realized by a compressed network using only the original neurons, without increasing the weighted coefficient sum. These results show that boundary geometry can change the optimal exponent even when dimension, error norm, and weighting rule are fixed.
• Abstract（参考訳）: 境界幾何学が凸体上の浅いReLUニューラルネットワークによる$L^q$近似にどのように影響するかを、K\subset\mathbb R^d$で検討する。 対象クラスは重み付き変動空間の単位球で、領域幾何学を出力係数の制約に組み込むことで古典空間を拡大することができる。 任意の凸体に対する上および下界を確立し、すべての平面凸体とその積に対する最適多項式近似指数を立方体や円柱を含むポリトープで決定する。 凸体が$C^2$の場合、$q$の次元依存範囲における最適指数は$2$を超えて決定される。 すべての主曲率が正のとき、結果はすべての有限$q\ge2$に拡張される。 これらのクラスでは、領域に対する最適指数の依存は、小さな境界キャップに付随する単一の幾何学的成長指数によって捉えられる。 また,古典的な近似指数を維持するためのシャープウェイト閾値を同定し,古典的な$L^2$の近似率を維持しながらユークリッド球の以前の重みを改善する。 ターゲットが有限ReLUネットワークとして与えられると、重み付け係数和を増大させることなく、元のニューロンのみを用いて圧縮されたネットワークによって上界を実現することができる。 これらの結果は,次元,誤差ノルム,重み付け規則が固定された場合でも,境界幾何学が最適指数を変化させることを示す。

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