論文の概要: Meshless Latent Dynamics Models for Model Order Reduction of time-dependent Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.41043v1
• Date: Thu, 29 Oct 2026 22:32:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-11-02 22:05:31.510304
• Title: Meshless Latent Dynamics Models for Model Order Reduction of time-dependent Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 時間依存部分微分方程式のモデル次数削減のためのメッシュレス潜在ダイナミクスモデル
• Abstract要約: ニューラルネットワーク(NeFs)の条件付けに基づくメッシュ非依存潜在ダイナミクスモデル(LDMs)の統一的な数学的枠組みを導入する。 メッシュレスLDMは、トレーニング可能なパラメータの2%しか使用せず、空間的離散化に対してほぼ一定の誤差を示すことなく、メッシュベースのパラメータと同等かそれ以上の精度で予測できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Latent dynamics learning has emerged as a prominent approach for Model Order Reduction (MOR) of time-dependent, parameterized Partial Differential Equations (PDEs). Traditional autoencoder-based approaches are intrinsically tied to fixed spatial discretizations during both training and inference, motivating the development of meshless methodologies. In this context, conditioning provides a natural mechanism for representing temporal evolution through spatially continuous functions, enabling mesh-agnostic Latent Dynamics Models (LDMs). In this work, we introduce a unified mathematical framework for mesh-agnostic LDMs based on conditioning in Neural Fields (NeFs). Leveraging a taxonomy of conditioning mechanisms (weak, strong, and pure), we formulate meshless LDMs as NeFs conditioned on a latent state. We establish a Universal Approximation Theorem (UAT) for this class of models and analyze their stability by deriving Lipschitz bounds for different conditioning mechanisms. Our analysis reveals an expressivity--stability trade-off, providing insight into why more expressive conditioning, despite its higher representational capacity, can potentially degrade performance during temporal extrapolation. Finally, we provide a comprehensive comparison of meshless and mesh-based architectures in the continuous limit of the spatial discretization, showing that meshless models guarantee grid-independent Lipschitz bounds, unlike mesh-based counterparts. Our experiments across Burgers' equation, Navier--Stokes flow past a cylinder, and linear advection show that meshless LDMs can achieve predictive accuracy comparable to or better than their mesh-based counterparts while using only 2% of the trainable parameters and exhibiting nearly constant error across spatial discretizations.
• Abstract（参考訳）: 潜在力学学習は、時間依存的パラメータ化部分微分方程式(PDE)のモデル次数還元(MOR)に対する顕著なアプローチとして現れてきた。 従来の自己エンコーダベースのアプローチは、トレーニングと推論の両方の間、固定された空間的離散化と本質的に結びついており、メッシュレス方法論の開発を動機付けている。 この文脈では、条件付けは空間的に連続する関数を通して時間的進化を表現する自然なメカニズムを提供し、メッシュに依存しない潜在ダイナミクスモデル(LDM)を可能にする。 本研究では,ニューラルネットワーク(NeFs)の条件付けに基づくメッシュ非依存型 LDM の統一的な数学的枠組みを提案する。 条件付け機構(弱さ、強さ、純度)の分類を利用して、潜伏状態のNeFsとしてメッシュレスLCDを定式化する。 このクラスのモデルに対して普遍近似定理(UAT)を確立し、異なる条件付け機構に対してリプシッツ境界を導出することにより安定性を解析する。 分析の結果,表現能力が高いにもかかわらず,時間外挿時の性能が低下する可能性が示唆された。 最後に、メッシュレスおよびメッシュベースのアーキテクチャを、空間的離散化の連続的な限界において包括的に比較し、メッシュレスモデルがメッシュベースのアーキテクチャとは異なり、グリッド非依存のリプシッツ境界を保証することを示す。 バーガース方程式,ナビエ-ストークス流,線形対流による実験により,メッシュレスLCDはトレーニング可能なパラメータの2%しか使用せず,空間的離散化のほぼ一定の誤差を示すことなく,メッシュベースと同等かそれ以上の精度で予測できることが示された。

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