論文の概要: On latent dynamics learning in nonlinear reduced order modeling
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.15183v2
- Date: Thu, 28 Nov 2024 11:53:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-02 15:14:52.134102
- Title: On latent dynamics learning in nonlinear reduced order modeling
- Title（参考訳）: 非線形還元次数モデリングにおける潜時ダイナミクス学習について
- Authors: Nicola Farenga, Stefania Fresca, Simone Brivio, Andrea Manzoni,
- Abstract要約: 本稿では,パラメータ化非線形時間依存PDEの次数モデリングのための潜在力学モデル(LDM)の数学的枠組みを提案する。
フルオーダーモデル (FOM) 解の LDM 近似に対する誤差と安定性の推定を導出するために, 時間連続的な設定を用いる。
ディープニューラルネットワークは離散LDM成分を近似し、FOMに関して有界近似誤差を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6249768559720122
- License:
- Abstract: In this work, we present the novel mathematical framework of latent dynamics models (LDMs) for reduced order modeling of parameterized nonlinear time-dependent PDEs. Our framework casts this latter task as a nonlinear dimensionality reduction problem, while constraining the latent state to evolve accordingly to an (unknown) dynamical system. A time-continuous setting is employed to derive error and stability estimates for the LDM approximation of the full order model (FOM) solution. We analyze the impact of using an explicit Runge-Kutta scheme in the time-discrete setting, resulting in the $\Delta\text{LDM}$ formulation, and further explore the learnable setting, $\Delta\text{LDM}_\theta$, where deep neural networks approximate the discrete LDM components, while providing a bounded approximation error with respect to the FOM. Moreover, we extend the concept of parameterized Neural ODE - recently proposed as a possible way to build data-driven dynamical systems with varying input parameters - to be a convolutional architecture, where the input parameters information is injected by means of an affine modulation mechanism, while designing a convolutional autoencoder neural network able to retain spatial-coherence, thus enhancing interpretability at the latent level. Numerical experiments, including the Burgers' and the advection-reaction-diffusion equations, demonstrate the framework's ability to obtain, in a multi-query context, a time-continuous approximation of the FOM solution, thus being able to query the LDM approximation at any given time instance while retaining a prescribed level of accuracy. Our findings highlight the remarkable potential of the proposed LDMs, representing a mathematically rigorous framework to enhance the accuracy and approximation capabilities of reduced order modeling for time-dependent parameterized PDEs.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,パラメータ化非線形時間依存PDEの次数モデリングのための潜在力学モデル(LDM)の数学的枠組みを提案する。
我々のフレームワークは、この後者のタスクを非線形次元減少問題とみなし、(未知の)力学系に従って潜在状態の進化を制限している。
フルオーダーモデル (FOM) 解の LDM 近似に対する誤差と安定性の推定を導出するために, 時間連続的な設定を用いる。
時間分割設定において、明示的なRunge-Kuttaスキームを用いることによる影響を分析し、その結果、$\Delta\text{LDM}$の定式化を行い、さらに学習可能な$\Delta\text{LDM}_\theta$について検討する。
さらに、パラメータ化ニューラルODEの概念を拡張し、最近、様々な入力パラメータを持つデータ駆動動的システムを構築する方法として提案され、アフィン変調機構を用いて入力パラメータ情報を注入する畳み込みアーキテクチャとして、空間コヒーレンスを維持することができる畳み込みオートエンコーダニューラルネットワークを設計し、潜時レベルでの解釈可能性を高める。
Burgers や advection-reaction-diffusion 方程式を含む数値実験は、複数クエリの文脈において、FOM の解の時間連続近似を得ることのできるフレームワークの能力を示し、所定精度を維持しながら、任意の時点における LDM 近似をクエリできる。
本研究は, 時間依存パラメータ化PDEの精度と近似能力を向上するための, 数学的に厳密な枠組みである LDM の顕著な可能性を明らかにするものである。
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