論文の概要: Rates of Convergence for Laplacian Semi-Supervised Learning with Low
Labeling Rates
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.02765v1
- Date: Thu, 4 Jun 2020 10:46:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-11-25 09:41:48.044199
- Title: Rates of Convergence for Laplacian Semi-Supervised Learning with Low
Labeling Rates
- Title（参考訳）: 低ラベリング率ラプラシア半教師学習における収束率
- Authors: Jeff Calder, Dejan Slep\v{c}ev and Matthew Thorpe
- Abstract要約: グラフに基づくラプラシアン半教師付き学習を低ラベリングレートで研究する。
ラベルレートが非常に低い場合、ラプラシアン学習は縮退し、その解はラベル付き各データポイントのスパイクとほぼ一定となる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.867363075280544
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study graph-based Laplacian semi-supervised learning at low labeling
rates. Laplacian learning uses harmonic extension on a graph to propagate
labels. At very low label rates, Laplacian learning becomes degenerate and the
solution is roughly constant with spikes at each labeled data point. Previous
work has shown that this degeneracy occurs when the number of labeled data
points is finite while the number of unlabeled data points tends to infinity.
In this work we allow the number of labeled data points to grow to infinity
with the number of labels. Our results show that for a random geometric graph
with length scale $\varepsilon>0$ and labeling rate $\beta>0$, if $\beta
\ll\varepsilon^2$ then the solution becomes degenerate and spikes form, and if
$\beta\gg \varepsilon^2$ then Laplacian learning is well-posed and consistent
with a continuum Laplace equation. Furthermore, in the well-posed setting we
prove quantitative error estimates of $O(\varepsilon\beta^{-1/2})$ for the
difference between the solutions of the discrete problem and continuum PDE, up
to logarithmic factors. We also study $p$-Laplacian regularization and show the
same degeneracy result when $\beta \ll \varepsilon^p$. The proofs of our
well-posedness results use the random walk interpretation of Laplacian learning
and PDE arguments, while the proofs of the ill-posedness results use
$\Gamma$-convergence tools from the calculus of variations. We also present
numerical results on synthetic and real data to illustrate our results.
- Abstract（参考訳）: グラフベースラプラシアン半教師付き学習を低ラベルレートで検討した。
ラプラシアン学習はグラフ上の調和拡張を使ってラベルを伝播する。
非常に低いラベルレートでは、ラプラシアン学習は縮退し、各ラベル付きデータポイントのスパイクで解は概ね一定となる。
前回の研究では、ラベル付きデータポイントの数は有限であり、ラベル付きデータポイントの数は無限になりがちである。
この作業では、ラベル付きデータポイントの数をラベル数で無限に増やすことを可能にします。
その結果、長さスケール $\varepsilon>0$ とラベリングレート $\beta>0$ のランダム幾何グラフでは、$\beta \ll\varepsilon^2$ で解が縮退しスパイクが形成され、$\beta\gg \varepsilon^2$ であればラプラシアン学習は連続ラプラス方程式とよく一致することが示された。
さらに、よく仮定された設定では、離散問題と連続PDEの解の差に対して$O(\varepsilon\beta^{-1/2})$の量的誤差推定を対数係数まで証明する。
また、$p$-Laplacian regularization も検討し、$\beta \ll \varepsilon^p$ と同じ縮退結果を示す。
この結果の証明はラプラシアン学習のランダムウォーク解釈とPDE論証を使い、不作為結果の証明は変分法からの$\Gamma$-convergenceツールを使用する。
また, 合成データおよび実データを用いて, 数値的な結果を示す。
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