Fugu-MT 論文翻訳(概要): Convergence rates for Poisson learning to a Poisson equation with measure data

論文の概要: Convergence rates for Poisson learning to a Poisson equation with measure data

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.06783v1
Date: Tue, 9 Jul 2024 11:54:34 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-07-10 18:17:01.355412
Title: Convergence rates for Poisson learning to a Poisson equation with measure data
Title（参考訳）: 測度データを用いたポアソン方程式へのポアソン学習の収束率
Authors: Leon Bungert, Jeff Calder, Max Mihailescu, Kodjo Houssou, Amber Yuan,
Abstract要約: グラフに基づく半教師付き学習アルゴリズムであるPoisson Learningに対して,連続収束率を離散的に証明する。グラフ熱核によるモリフィケーションによるグラフポアソン方程式の正則化法を示す。我々は、一般的なデータ分布に$O(varepsilonfrac1d+2)$、均一に分散したデータに$O(varepsilonfrac2-sigmad+4)$などの対数因子にスケールする収束率を得る。
参考スコア（独自算出の注目度）: 2.7961972519572447
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: In this paper we prove discrete to continuum convergence rates for Poisson Learning, a graph-based semi-supervised learning algorithm that is based on solving the graph Poisson equation with a source term consisting of a linear combination of Dirac deltas located at labeled points and carrying label information. The corresponding continuum equation is a Poisson equation with measure data in a Euclidean domain $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. The singular nature of these equations is challenging and requires an approach with several distinct parts: (1) We prove quantitative error estimates when convolving the measure data of a Poisson equation with (approximately) radial function supported on balls. (2) We use quantitative variational techniques to prove discrete to continuum convergence rates on random geometric graphs with bandwidth $\varepsilon>0$ for bounded source terms. (3) We show how to regularize the graph Poisson equation via mollification with the graph heat kernel, and we study fine asymptotics of the heat kernel on random geometric graphs. Combining these three pillars we obtain $L^1$ convergence rates that scale, up to logarithmic factors, like $O(\varepsilon^{\frac{1}{d+2}})$ for general data distributions, and $O(\varepsilon^{\frac{2-\sigma}{d+4}})$ for uniformly distributed data, where $\sigma>0$. These rates are valid with high probability if $\varepsilon\gg\left({\log n}/{n}\right)^q$ where $n$ denotes the number of vertices of the graph and $q \approx \frac{1}{3d}$.
Abstract（参考訳）: 本稿では,グラフに基づく半教師付き学習アルゴリズムであるPoisson Learningの連続収束率を,ラベル付き点に位置するDiracデルタの線形結合とラベル情報を持つソース項で解くことにより,離散的に証明する。対応する連続方程式は、ユークリッド領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ の測度データを持つポアソン方程式である。これらの方程式の特異性は困難であり、(1)ポアソン方程式の測度データと(およそ)ラジアル関数をボールで支持するときに定量的な誤差推定を証明しなければならない。 2) 帯域幅$\varepsilon>0$のランダムな幾何グラフ上での離散的連続収束率を証明するために, 定量的な変分法を用いる。 (3) グラフ熱核とのモル化によるグラフポアソン方程式の正則化方法を示し, ランダムな幾何グラフ上での熱核の微妙な漸近について検討する。これら3つの柱を組み合わせることで、$O(\varepsilon^{\frac{1}{d+2}})$、$O(\varepsilon^{\frac{2-\sigma}{d+4}})$のような対数的因子までスケールする$L^1$収束率を得ることができ、$O(\varepsilon^{\frac{2-\sigma}{d+4}})$は均一に分散されたデータに対して$O(\varepsilon^{\frac{2-\sigma}{d+4}})$となる。これらの値は高い確率で有効である:$\varepsilon\gg\left({\log n}/{n}\right)^q$ ここで$n$はグラフの頂点の数を表し、$q \approx \frac{1}{3d}$である。

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