論文の概要: A Method for Representing Periodic Functions and Enforcing Exactly Periodic Boundary Conditions with Deep Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.07442v1
• Date: Wed, 15 Jul 2020 02:34:51 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-10 06:47:05.519756
• Title: A Method for Representing Periodic Functions and Enforcing Exactly Periodic Boundary Conditions with Deep Neural Networks
• Title（参考訳）: ディープニューラルネットワークを用いた周期関数の表現と厳密な周期境界条件の強制法
• Authors: Suchuan Dong, Naxian Ni
• Abstract要約: 第二層として組み込まれた$Cinfty$周期層を持つディープニューラルネットワークは、自動的に$Cinfty$(または$Ck$)周期条件を満たす。 我々は、通常の偏微分方程式と偏微分方程式について、$Cinfty$と$Ck$周期境界条件を用いて広範な数値実験を行い、提案法が実際に完全に適用可能であることを検証、実証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a simple and effective method for representing periodic functions and enforcing exactly the periodic boundary conditions for solving differential equations with deep neural networks (DNN). The method stems from some simple properties about function compositions involving periodic functions. It essentially composes a DNN-represented arbitrary function with a set of independent periodic functions with adjustable (training) parameters. We distinguish two types of periodic conditions: those imposing the periodicity requirement on the function and all its derivatives (to infinite order), and those imposing periodicity on the function and its derivatives up to a finite order $k$ ($k\geqslant 0$). The former will be referred to as $C^{\infty}$ periodic conditions, and the latter $C^{k}$ periodic conditions. We define operations that constitute a $C^{\infty}$ periodic layer and a $C^k$ periodic layer (for any $k\geqslant 0$). A deep neural network with a $C^{\infty}$ (or $C^k$) periodic layer incorporated as the second layer automatically and exactly satisfies the $C^{\infty}$ (or $C^k$) periodic conditions. We present extensive numerical experiments on ordinary and partial differential equations with $C^{\infty}$ and $C^k$ periodic boundary conditions to verify and demonstrate that the proposed method indeed enforces exactly, to the machine accuracy, the periodicity for the DNN solution and its derivatives.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,Deep Neural Network (DNN) を用いた微分方程式の解法として,周期関数の簡易かつ効率的な表現法を提案する。 この方法は周期関数を含む関数合成に関するいくつかの単純な性質に由来する。 本質的には、調整可能な(訓練)パラメータを持つ独立周期関数の集合を持つdnnで表現された任意の関数を構成する。 我々は、函数とその微分に周期性要件を与えるもの(無限次)と、函数とその微分に周期性を与えるもの(k$$$k\geqslant 0$)の2つのタイプの周期条件を区別する。 前者は$C^{\infty}$周期条件、後者は$C^{k}$周期条件と呼ばれる。 我々は、$c^{\infty}$周期層および$c^k$周期層を構成する演算を定義する(任意の$k\geqslant 0$)。 c^{\infty}$(または$c^k$)周期層を第2層として自動的に組み込んだディープニューラルネットワークは、$c^{\infty}$(または$c^k$)周期条件を満たす。 C^{\infty}$と$C^k$の周期境界条件を持つ常微分方程式と偏微分方程式に関する広範な数値実験を行い、提案手法が真に機械的精度、DNN解とその導関数の周期性に有効であることを示す。

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