論文の概要: A short letter on the dot product between rotated Fourier transforms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.13462v1
• Date: Fri, 24 Jul 2020 13:53:04 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-07 07:15:44.969038
• Title: A short letter on the dot product between rotated Fourier transforms
• Title（参考訳）: 回転フーリエ変換の間の点積の短い文字
• Authors: Aaron R. Voelker
• Abstract要約: 連続空間を表現・変換するための強力なツールとして空間意味ポインタ(SSP)が登場した。 SSPは、$n$次元空間における異なる点を表すベクトル間の「類似性」の概念に基づいている。 SSPは、空間構造を操作するニューラルネットワークを設計するための有用な数学的枠組みを強化するのに役立つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Spatial Semantic Pointers (SSPs) have recently emerged as a powerful tool for representing and transforming continuous space, with numerous applications to cognitive modelling and deep learning. Fundamental to SSPs is the notion of "similarity" between vectors representing different points in $n$-dimensional space -- typically the dot product or cosine similarity between vectors with rotated unit-length complex coefficients in the Fourier domain. The similarity measure has previously been conjectured to be a Gaussian function of Euclidean distance. Contrary to this conjecture, we derive a simple trigonometric formula relating spatial displacement to similarity, and prove that, in the case where the Fourier coefficients are uniform i.i.d., the expected similarity is a product of normalized sinc functions: $\prod_{k=1}^{n} \operatorname{sinc} \left( a_k \right)$, where $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ is the spatial displacement between the two $n$-dimensional points. This establishes a direct link between space and the similarity of SSPs, which in turn helps bolster a useful mathematical framework for architecting neural networks that manipulate spatial structures.
• Abstract（参考訳）: 空間意味ポインタ(SSP)は、認知モデリングやディープラーニングへの多くの応用を含む、連続空間の表現と変換のための強力なツールとして最近登場した。 sspsの基本は、n$-次元空間における異なる点を表すベクトル間の「類似性」の概念であり、典型的には、フーリエ領域で回転単位長複素係数を持つベクトルのドット積またはコサイン類似性である。 類似性測度は以前、ユークリッド距離のガウス函数であると推測されていた。 この予想とは対照的に、空間変位と類似性に関する単純な三角式を導出し、フーリエ係数が一様である場合、予想される類似性は正規化されたシンク関数の積である: $\prod_{k=1}^{n} \operatorname{sinc} \left(a_k \right)$, ここで $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ は2つの n-次元点の間の空間変位である。 これにより空間とSSPの類似性との間の直接的なリンクが確立され、空間構造を操作するニューラルネットワークを設計するための有用な数学的枠組みが確立される。

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