論文の概要: Nested Grassmannians for Dimensionality Reduction with Applications

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2010.14589v3
• Date: Tue, 1 Mar 2022 10:33:55 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-02 12:50:22.556484
• Title: Nested Grassmannians for Dimensionality Reduction with Applications
• Title（参考訳）: 次元化のためのネステッドグラスマン多様体とその応用
• Authors: Chun-Hao Yang, Baba C. Vemuri
• Abstract要約: 等質リーマン多様体のネスト列を構成するための新しい枠組みを提案する。 我々は、提案されたフレームワークをグラスマン多様体に適用することに集中し、ネストしたグラスマン多様体(NG)を生み出した。 具体的には、各平面(2D) 形状は複素グラスマン多様体である複素射影空間の点として表すことができる。 提案したNG構造を用いて,教師付き次元減少問題と教師なし次元減少問題に対するアルゴリズムをそれぞれ開発する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.106986689736826
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In the recent past, nested structures in Riemannian manifolds has been studied in the context of dimensionality reduction as an alternative to the popular principal geodesic analysis (PGA) technique, for example, the principal nested spheres. In this paper, we propose a novel framework for constructing a nested sequence of homogeneous Riemannian manifolds. Common examples of homogeneous Riemannian manifolds include the $n$-sphere, the Stiefel manifold, the Grassmann manifold and many others. In particular, we focus on applying the proposed framework to the Grassmann manifold, giving rise to the nested Grassmannians (NG). An important application in which Grassmann manifolds are encountered is planar shape analysis. Specifically, each planar (2D) shape can be represented as a point in the complex projective space which is a complex Grass-mann manifold. Some salient features of our framework are: (i) it explicitly exploits the geometry of the homogeneous Riemannian manifolds and (ii) the nested lower-dimensional submanifolds need not be geodesic. With the proposed NG structure, we develop algorithms for the supervised and unsupervised dimensionality reduction problems respectively. The proposed algorithms are compared with PGA via simulation studies and real data experiments and are shown to achieve a higher ratio of expressed variance compared to PGA.
• Abstract（参考訳）: 近年、リーマン多様体のネスト構造は、例えば主ネスト球面のような一般的な主測地解析(PGA)手法の代替として次元減少の文脈で研究されている。 本論文では、同次リーマン多様体のネスト列を構成するための新しい枠組みを提案する。 等質リーマン多様体の一般的な例としては、$n$-球面、スティーフェル多様体、グラスマン多様体などがある。 特に、提案されたフレームワークをグラスマン多様体に適用することに集中し、ネストしたグラスマン多様体(NG)を生み出した。 グラスマン多様体に遭遇する重要な応用は平面形状解析である。 具体的には、各平面(2D) 形状は複素グラスマン多様体である複素射影空間の点として表すことができる。 私たちのフレームワークの優れた特徴は次のとおりです。 (i)一様リーマン多様体の幾何学を明示的に利用し、 (ii) ネストした下次元多様体は測地的でない。 提案したNG構造を用いて,教師付きおよび教師なし次元減少問題に対するアルゴリズムをそれぞれ開発する。 提案アルゴリズムはシミュレーション実験および実データ実験によりPGAと比較し,PGAよりも高い比の表現分散が得られることを示した。

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