論文の概要: Computing solutions of Schr\"odinger equations on unbounded domains- On
the brink of numerical algorithms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2010.16347v1
- Date: Fri, 30 Oct 2020 16:08:32 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-26 07:51:30.023847
- Title: Computing solutions of Schr\"odinger equations on unbounded domains- On
the brink of numerical algorithms
- Title（参考訳）: 非有界領域におけるschr\"odinger方程式の計算解-数値アルゴリズムの応用-
- Authors: Simon Becker and Anders Hansen
- Abstract要約: 我々は、一般にアルゴリズムが存在しないことを実証し、計算可能な量子力学における問題の実質的な分類理論を導出する。
我々は、非有界領域上の離散NLS方程式の解は、アルゴリズムのランタイム上の一様境界で常に計算可能であることを示す。
我々の結果は、計算量子力学以上の意味を持ち、Solvability Complexity Index(SCI)階層とSmaleの計算数学の基礎に関するプログラムの一部である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We address the open problem of determining which classes of time-dependent
linear Schr\"odinger equations and focusing and defocusing cubic and quintic
non-linear Schr\"odinger equations (NLS) on unbounded domains that can be
computed by an algorithm. We demonstrate how such an algorithm in general does
not exist, yielding a substantial classification theory of which problems in
quantum mechanics that can be computed. Moreover, we establish classifications
on which problems that can be computed with a uniform bound on the runtime, as
a function of the desired $\epsilon$-accuracy of the approximation. This
include linear and nonlinear Schr\"odinger equations for which we provide
positive and negative results and conditions on both the initial state and the
potentials such that there exist computational (recursive) a priori bounds that
allow reduction of the IVP on an unbounded domain to an IVP on a bounded
domain, yielding an algorithm that can produce an $\epsilon$-approximation. In
addition, we show how no algorithm can decide, and in fact not verify nor
falsify, if the focusing NLS will blow up in finite time or not, yet, for the
defocusing NLS, solutions can be computed given mild assumptions on the initial
state and the potentials. Finally, we show that solutions to discrete NLS
equations (focusing and defocusing) on an unbounded domain can always be
computed with uniform bounds on the runtime of the algorithm. The algorithms
presented are not just of theoretical interest, but efficient and easy to
implement in applications. Our results have implications beyond computational
quantum mechanics and are a part of the Solvability Complexity Index (SCI)
hierarchy and Smale's program on the foundations of computational mathematics.
For example our results provide classifications of which mathematical problems
may be solved by computer assisted proofs.
- Abstract（参考訳）: 時間依存線形Schr\"odinger方程式のどのクラスを定め、アルゴリズムで計算できる非有界領域上で立方体およびクインティックな非線形Schr\"odinger方程式(NLS)を焦点とデフォーカスする。
このようなアルゴリズムが一般に存在しないことを実証し、量子力学において計算可能な問題の実質的な分類理論を導出する。
さらに、所望の$\epsilon$-accuracy of the approximationの関数として、実行時に一様境界で計算できる問題を分類する。
これには、初期状態とポテンシャルの両方に正および負の結果と条件を提供し、非有界領域上の ivp を有界領域上の ivp に還元し、$\epsilon$-approximation を生成するアルゴリズムを与える計算的(再帰的)事前境界が存在するような、線形および非線形のschr\"odinger 方程式が含まれる。
さらに,NLS が有限時間で爆発するかどうかを検証・偽造するアルゴリズムが存在しないかを示すとともに,非破壊 NLS に対して,初期状態とポテンシャルについて軽度な仮定を条件として解を計算可能であることを示す。
最後に,非有界領域における離散的nls方程式(フォーカスとデフォーカス)の解は,アルゴリズムのランタイム上で常に一様境界で計算できることを示す。
提示されるアルゴリズムは理論上の関心だけでなく、アプリケーションの実装も効率的で容易である。
この結果は、計算量子力学を超えた意味を持ち、計算数学の基礎に関するソルバビリティ複雑性指数(sci)階層とsmaleのプログラムの一部である。
例えば,計算機支援による証明によって解くことができる数学的問題を分類する。
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