論文の概要: Weighted Slice Rank and a Minimax Correspondence to Strassen's Spectra
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.14412v2
- Date: Fri, 12 Nov 2021 09:35:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-19 01:38:37.270548
- Title: Weighted Slice Rank and a Minimax Correspondence to Strassen's Spectra
- Title（参考訳）: 重み付きスライスランクとストラッセンのスペクトルに対するミニマックス対応
- Authors: Matthias Christandl, Vladimir Lysikov, Jeroen Zuiddam
- Abstract要約: ストラッセンのスペクトルプログラムは、単調関数による最適行列アルゴリズムを特徴付ける。
重み付きスライスランクは、量子エンタングルメントの双対性の異なる概念をカプセル化する。
新しい特徴はすべての分野に拡張できる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.348876409230947
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Structural and computational understanding of tensors is the driving force
behind faster matrix multiplication algorithms, the unraveling of quantum
entanglement, and the breakthrough on the cap set problem. Strassen's
asymptotic spectra program (SFCS 1986) characterizes optimal matrix
multiplication algorithms through monotone functionals. Our work advances and
makes novel connections among two recent developments in the study of tensors,
namely (1) the slice rank of tensors, a notion of rank for tensors that emerged
from the resolution of the cap set problem (Ann. of Math. 2017), and (2) the
quantum functionals of tensors (STOC 2018), monotone functionals defined as
optimizations over moment polytopes. More precisely, we introduce an extension
of slice rank that we call weighted slice rank and we develop a minimax
correspondence between the asymptotic weighted slice rank and the quantum
functionals. Weighted slice rank encapsulates different notions of
bipartiteness of quantum entanglement.
The correspondence allows us to give a rank-type characterization of the
quantum functionals. Moreover, whereas the original definition of the quantum
functionals only works over the complex numbers, this new characterization can
be extended to all fields. Thereby, in addition to gaining deeper understanding
of Strassen's theory for the complex numbers, we obtain a proposal for quantum
functionals over other fields. The finite field case is crucial for
combinatorial and algorithmic problems where the field can be optimized over.
- Abstract（参考訳）: テンソルの構造的および計算的理解は、より高速な行列乗法アルゴリズム、量子エンタングルメントの展開、キャップセット問題におけるブレークスルーの原動力である。
ストラッセンの漸近スペクトルプログラム(SFCS 1986)は単調関数による最適行列乗算アルゴリズムを特徴付ける。
我々の研究は、テンソルの研究において、(1)テンソルのスライスランク、; キャップセット問題の解決から現れたテンソルのランクの概念(2017年Ann. of Math)、(2)テンソルの量子汎関数(STOC 2018)、およびモーメントポリトープ上の最適化として定義されたモノトン汎関数の2つの新しい発展の間に進展し、新しい関係を築き上げている。
より正確には、重み付きスライスランクと呼ばれるスライスランクの拡張を導入し、漸近重み付きスライスランクと量子汎関数との間のミニマックス対応を開発する。
重み付きスライスランクは、量子エンタングルメントの双対性の異なる概念をカプセル化する。
この対応により、量子汎函数のランク型特徴づけを与えることができる。
さらに、元の量子汎函数の定義は複素数上でのみ機能するが、この新しい特徴づけはすべての体に拡張できる。
これにより、複素数に対するストラッセンの理論のより深い理解を得るとともに、他の場に対する量子汎函数の提案を得る。
有限体の場合、場を最適化できる組合せ問題やアルゴリズム問題には不可欠である。
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