論文の概要: From Geometry to Topology: Inverse Theorems for Distributed Persistence
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.12288v1
- Date: Thu, 28 Jan 2021 21:36:45 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-02-01 21:50:02.602393
- Title: From Geometry to Topology: Inverse Theorems for Distributed Persistence
- Title（参考訳）: 幾何学からトポロジーへ:分散持続性に対する逆定理
- Authors: Elchanan Solomon, Alex Wagner, Paul Bendich
- Abstract要約: 正しい不変量は、X の永続化図形ではなく、多くの小さな部分集合の永続化図形の集まりであることを示す。
この不変性は、私たちが"分散永続化"と呼んでいるもので、簡単に並列化可能で、外れ値に対してより安定です。
結果は、実際に分散持続性の使用を実証する2つの合成実験によって補完される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: What is the "right" topological invariant of a large point cloud X? Prior
research has focused on estimating the full persistence diagram of X, a
quantity that is very expensive to compute, unstable to outliers, and far from
a sufficient statistic. We therefore propose that the correct invariant is not
the persistence diagram of X, but rather the collection of persistence diagrams
of many small subsets. This invariant, which we call "distributed persistence,"
is trivially parallelizable, more stable to outliers, and has a rich inverse
theory. The map from the space of point clouds (with the quasi-isometry metric)
to the space of distributed persistence invariants (with the
Hausdorff-Bottleneck distance) is a global quasi-isometry. This is a much
stronger property than simply being injective, as it implies that the inverse
of a small neighborhood is a small neighborhood, and is to our knowledge the
only result of its kind in the TDA literature. Moreover, the quasi-isometry
bounds depend on the size of the subsets taken, so that as the size of these
subsets goes from small to large, the invariant interpolates between a purely
geometric one and a topological one. Lastly, we note that our inverse results
do not actually require considering all subsets of a fixed size (an enormous
collection), but a relatively small collection satisfying certain covering
properties that arise with high probability when randomly sampling subsets.
These theoretical results are complemented by two synthetic experiments
demonstrating the use of distributed persistence in practice.
- Abstract（参考訳）: 大点雲 X の「右」位相不変量は何ですか。
それまでの研究は、計算するのに非常に高価で、外れ値に不安定で、十分な統計量からは程遠いXの完全な永続化図の推定に重点を置いていた。
したがって、正しい不変量は X の永続化図ではなく、多くの小さな部分集合の永続化図の集合であることを提案する。
この不変量は「分散永続性」と呼ばれ、自明に並列化可能であり、外れ値に対してより安定であり、リッチな逆理論を持つ。
点群の空間(準アイソメトリーメトリックを持つ)から分散永続不変量の空間(ハウスドルフ・ボトルネック距離を持つ)への写像は、グローバルな準アイソメトリーである。
これは単に注入的であるよりもはるかに強い性質であり、小さな近傍の逆元は小さな近傍であり、我々の知識がtdaの文献においてこの種の結果の唯一のものであることを意味する。
さらに、準等方性境界は取られた部分集合のサイズに依存するので、これらの部分集合のサイズが小さいから大きいほど、不変量は純粋に幾何学的なものと位相的なものの間を補間する。
最後に、我々の逆結果は、実際には固定サイズのすべての部分集合(巨大なコレクション)を考える必要はなく、ランダムに部分集合をサンプリングする際に高い確率で生じる被覆特性を満たす比較的小さな集合である。
これらの理論的結果は、実際に分散持続性の使用を実証する2つの合成実験によって補完される。
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