論文の概要: Minimal length in an orbit closure as a semiclassical limit
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2004.14872v2
- Date: Mon, 24 Oct 2022 19:31:05 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-21 17:16:08.100509
- Title: Minimal length in an orbit closure as a semiclassical limit
- Title（参考訳）: 半古典的極限としての軌道閉包における最小長
- Authors: Cole Franks and Michael Walter
- Abstract要約: 不変理論では、ベクトル v の軌道が原点から分離されることは、ある同次不変量が v 上の 0 でないことを言う。
この最適化への接続により、不変理論における多くの問題に対する効率的なアルゴリズムが導かれた。
局所中心極限定理のフーリエ解析的証明から着想を得た、新しく独立した初等証明を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6312226592634047
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Consider the action of a connected complex reductive group on a
finite-dimensional vector space. A fundamental result in invariant theory
states that the orbit closure of a vector v is separated from the origin if and
only if some homogeneous invariant polynomial is nonzero on v, i.e. v is not in
the null cone. Thus, efficiently finding the minimum distance between the orbit
closure and the origin can lead to deterministic algorithms for null cone
membership, an important polynomial identity testing problem including the
non-commutative Edmonds problem. This connection to optimization has recently
led to efficient algorithms for many problems in invariant theory.
Here we explore a refinement of the famous duality between orbit closures and
invariant polynomials, which holds that the following two quantities coincide:
(1) the logarithm of the Euclidean distance between the orbit closure and the
origin and (2) the rate of exponential growth of the 'invariant part' of
$v^{\otimes k}$ in the semiclassical limit as k tends to infinity. This result
can be deduced from work of S. Zhang (Geometric reductivity at Archimedean
places, 1994), which uses sophisticated tools in arithmetic geometry. We
provide a new and independent elementary proof inspired by the Fourier-analytic
proof of the local central limit theorem. We generalize the result to
projections onto highest weight vectors and isotypical components, and explore
connections between such semiclassical limits and the asymptotic behavior of
multiplicities in representation theory, large deviations theory in classical
and quantum statistics, and the Jacobian conjecture as reformulated by Mathieu.
Our formulas imply that they can be computed, in many cases efficiently, to
arbitrary precision.
- Abstract（参考訳）: 有限次元ベクトル空間上の連結複素簡約群の作用を考える。
不変理論の基本的な結果は、ベクトル v の軌道閉包が原点から分離していることと、ある斉次不変多項式が v 上の非零であること、すなわち v が零円錐にないことが同値である。
したがって、軌道閉包と原点の間の最小距離を効率的に見つけることは、非可換エドモンズ問題を含む重要な多項式同一性テスト問題であるヌルコーンメンバーシップの決定論的アルゴリズムにつながる。
この最適化への接続は、最近不変理論における多くの問題に対する効率的なアルゴリズムにつながった。
ここでは、軌道閉包と不変多項式の間の有名な双対性の洗練を考察し、(1) 軌道閉包と原点の間のユークリッド距離の対数と(2) k が無限大となるような半古典的極限において $v^{\otimes k}$ の「不変部分」の指数的成長の速度とが一致するとする。
この結果は、算術幾何学の洗練されたツールを使用するS. Zhang(1994年、アルキメデスの場所での幾何学的還元)の研究から導出することができる。
局所中心極限定理のフーリエ解析的証明から着想を得た、新しく独立した初等証明を提供する。
結果は、最高重みベクトルおよび同型成分への射影に一般化し、そのような半古典的極限と表現論における多重性の漸近的振舞い、古典的および量子統計学における大きな偏差理論、マチューによって修正されたヤコビアン予想を探索する。
我々の公式は、多くの場合、任意の精度で効率的に計算できることを示唆している。
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