論文の概要: Fast and accurate optimization on the orthogonal manifold without retraction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.07432v1
• Date: Mon, 15 Feb 2021 10:12:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-02-17 07:20:19.722394
• Title: Fast and accurate optimization on the orthogonal manifold without retraction
• Title（参考訳）: 引き込みのない直交多様体の高速かつ正確な最適化
• Authors: Pierre Ablin and Gabriel Peyr\'e
• Abstract要約: 本稿では,リトラクションを伴わないランディングアルゴリズムを提案する。 このアルゴリズムは多様体上に留まることを制約されないが、その進化はポテンシャルエネルギーによって駆動される。 着陸アルゴリズムの1つは行列乗算のみを伴っているため、リトラクションアルゴリズムに比べて安価である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.887285735878797
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We consider the problem of minimizing a function over the manifold of orthogonal matrices. The majority of algorithms for this problem compute a direction in the tangent space, and then use a retraction to move in that direction while staying on the manifold. Unfortunately, the numerical computation of retractions on the orthogonal manifold always involves some expensive linear algebra operation, such as matrix inversion or matrix square-root. These operations quickly become expensive as the dimension of the matrices grows. To bypass this limitation, we propose the landing algorithm which does not involve retractions. The algorithm is not constrained to stay on the manifold but its evolution is driven by a potential energy which progressively attracts it towards the manifold. One iteration of the landing algorithm only involves matrix multiplications, which makes it cheap compared to its retraction counterparts. We provide an analysis of the convergence of the algorithm, and demonstrate its promises on large-scale problems, where it is faster and less prone to numerical errors than retraction-based methods.
• Abstract（参考訳）: 直交行列の多様体上の関数を最小化する問題を考える。 この問題のアルゴリズムの大半は、接空間内の方向を計算し、その後、引き込みを使用して多様体上にとどまりながらその方向に移動する。 残念なことに、直交多様体上の引き算の数値計算は常に、行列反転や行列平方根のような高価な線型代数演算を伴う。 これらの操作は、行列の次元が大きくなるとすぐに高価になる。 この制限を回避するために,リトラクションを含まないランディングアルゴリズムを提案する。 このアルゴリズムは多様体上に留まることに制約されないが、その進化は多様体に向かって徐々に引き寄せるポテンシャルエネルギーによって駆動される。 ランディングアルゴリズムの1つのイテレーションは行列乗算のみを含むため、リトラクションアルゴリズムに比べて安価である。 そこで本研究では,アルゴリズムの収束を解析し,レトラクション法よりも高速で数値誤差の少ない大規模問題に対する期待を示す。

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