論文の概要: Spectral Analysis of Product Formulas for Quantum Simulation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.12655v1
- Date: Thu, 25 Feb 2021 03:17:25 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-09 23:01:01.894398
- Title: Spectral Analysis of Product Formulas for Quantum Simulation
- Title（参考訳）: 量子シミュレーションのための積公式のスペクトル解析
- Authors: Changhao Yi, Elizabeth Crosson
- Abstract要約: 本研究では,大規模なシステムに対して,$epsilon$から$epsilon1/2$へのスケーリングにおいて,精度の高いエネルギー固有値を推定するために必要なトロッターステップサイズを改善することができることを示す。
結果は部分的にダイアバティックなプロセスに一般化され、このプロセスはスペクトルの残りの部分からギャップによって分離された狭いエネルギーバンドに留まる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We consider Hamiltonian simulation using the first order Lie-Trotter product
formula under the assumption that the initial state has a high overlap with an
energy eigenstate, or a collection of eigenstates in a narrow energy band. This
assumption is motivated by quantum phase estimation (QPE) and digital adiabatic
simulation (DAS). Treating the effective Hamiltonian that generates the
Trotterized time evolution using rigorous perturbative methods, we show that
the Trotter step size needed to estimate an energy eigenvalue within precision
$\epsilon$ using QPE can be improved in scaling from $\epsilon$ to
$\epsilon^{1/2}$ for a large class of systems (including any Hamiltonian which
can be decomposed as a sum of local terms or commuting layers that each have
real-valued matrix elements). For DAS we improve the asymptotic scaling of the
Trotter error with the total number of gates $M$ from $\mathcal{O}(M^{-1})$ to
$\mathcal{O}(M^{-2})$, and for any fixed circuit depth we calculate an
approximately optimal step size that balances the error contributions from
Trotterization and the adiabatic approximation. These results partially
generalize to diabatic processes, which remain in a narrow energy band
separated from the rest of the spectrum by a gap, thereby contributing to the
explanation of the observed similarities between the quantum approximate
optimization algorithm and diabatic quantum annealing at small system sizes.
Our analysis depends on the perturbation of eigenvectors as well as
eigenvalues, and on quantifying the error using state fidelity (instead of the
matrix norm of the difference of unitaries which is sensitive to an overall
global phase).
- Abstract（参考訳）: 第一次リー・トロッター積公式を用いたハミルトンシミュレーションを、初期状態がエネルギー固有状態と高い重なり合いを持つ、あるいは狭いエネルギーバンド内の固有状態の集まりと仮定して考える。
この仮定は量子位相推定(QPE)とデジタル断熱シミュレーション(DAS)によって動機付けられる。
厳密な摂動法を用いてトロッター化時間発展を生成する効果的なハミルトニアンを扱い、qpeを用いてエネルギー固有値を正確に推定するために必要なトロッターステップのサイズを、大規模なシステム(各実数値行列要素を持つ局所項の和として分解可能なハミルトニアンを含む)に対して$\epsilon$から$\epsilon^{1/2}$にスケールすることで改善できることを示した。
dasの場合、トロッター誤差の漸近的スケーリングを、$\mathcal{o}(m^{-1})$から$\mathcal{o}(m^{-2})$までのゲートの総数で改善し、任意の固定回路深度に対して、トロッター化と断熱近似による誤差寄与のバランスをとる近似的最適ステップサイズを計算する。
これらの結果は、ギャップによってスペクトルの他の部分から分離された狭いエネルギー帯域に残る断熱過程に部分的に一般化され、量子近似最適化アルゴリズムと小さなシステムサイズでの断熱量子アニーリングとの観測された類似性の説明に繋がる。
我々の分析は固有ベクトルの摂動と固有値に依存し、状態の忠実度を用いて誤差を定量化する(全体大域位相に敏感なユニタリの差の行列ノルムの代わりに)。
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