論文の概要: Parametric Complexity Bounds for Approximating PDEs with Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.02138v1
• Date: Wed, 3 Mar 2021 02:42:57 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-03-04 15:06:52.189507
• Title: Parametric Complexity Bounds for Approximating PDEs with Neural Networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いたPDE近似のためのパラメトリック複雑境界
• Authors: Tanya Marwah, Zachary C. Lipton, Andrej Risteski
• Abstract要約: pdeの係数が小さなニューラルネットワークで表現できる場合、入力された$d$でスケール的に解を近似するために必要なパラメータは、ニューラルネットワークのパラメータ数に比例することを証明する。 我々の証明は、PDEの解に収束する適切な空間における勾配降下をシミュレートするニューラルネットワークの構築に基づいている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 41.46028070204925
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Recent empirical results show that deep networks can approximate solutions to high dimensional PDEs, seemingly escaping the curse of dimensionality. However many open questions remain regarding the theoretical basis for such approximations, including the number of parameters required. In this paper, we investigate the representational power of neural networks for approximating solutions to linear elliptic PDEs with Dirichlet Boundary conditions. We prove that when a PDE's coefficients are representable by small neural networks, the parameters required to approximate its solution scale polynomially with the input dimension $d$ and are proportional to the parameter counts of the coefficient neural networks. Our proof is based on constructing a neural network which simulates gradient descent in an appropriate Hilbert space which converges to the solution of the PDE. Moreover, we bound the size of the neural network needed to represent each iterate in terms of the neural network representing the previous iterate, resulting in a final network whose parameters depend polynomially on $d$ and does not depend on the volume of the domain.
• Abstract（参考訳）: 最近の実証結果から、深層ネットワークは高次元PDEに対する解を近似し、次元の呪いから逃れることができることが示された。 しかし、そのような近似の理論的基礎に関する多くのオープンな質問は、必要なパラメータの数を含む。 本稿では,ディリクレ境界条件を用いた線形楕円型PDEの近似解に対するニューラルネットワークの表現力について検討する。 pdeの係数が小さなニューラルネットワークで表現可能である場合、その解のスケールを入力次元$d$で多項式的に近似するために必要なパラメータが係数ニューラルネットワークのパラメータ数に比例していることが証明される。 我々の証明は、PDEの解に収束する適切なヒルベルト空間における勾配降下をシミュレートするニューラルネットワークの構築に基づいている。 さらに、各繰り返しを表すために必要となるニューラルネットワークのサイズを、前回の反復を表すニューラルネットワークで制限し、結果としてパラメータが$d$に多項式的に依存し、ドメインの体積に依存しない最終的なネットワークとなる。

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