論文の概要: Multilevel CNNs for Parametric PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.00388v2
• Date: Tue, 4 Apr 2023 12:42:26 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-05 10:27:46.801340
• Title: Multilevel CNNs for Parametric PDEs
• Title（参考訳）: パラメトリックPDEのためのマルチレベルCNN
• Authors: Cosmas Hei{\ss}, Ingo G\"uhring and Martin Eigel
• Abstract要約: 偏微分方程式に対する多段階解法の概念とニューラルネットワークに基づくディープラーニングを組み合わせる。 より詳細な理論的解析により,提案アーキテクチャは乗算Vサイクルを任意の精度で近似できることを示した。 最先端のディープラーニングベースの解法よりも大幅に改善されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We combine concepts from multilevel solvers for partial differential equations (PDEs) with neural network based deep learning and propose a new methodology for the efficient numerical solution of high-dimensional parametric PDEs. An in-depth theoretical analysis shows that the proposed architecture is able to approximate multigrid V-cycles to arbitrary precision with the number of weights only depending logarithmically on the resolution of the finest mesh. As a consequence, approximation bounds for the solution of parametric PDEs by neural networks that are independent on the (stochastic) parameter dimension can be derived. The performance of the proposed method is illustrated on high-dimensional parametric linear elliptic PDEs that are common benchmark problems in uncertainty quantification. We find substantial improvements over state-of-the-art deep learning-based solvers. As particularly challenging examples, random conductivity with high-dimensional non-affine Gaussian fields in 100 parameter dimensions and a random cookie problem are examined. Due to the multilevel structure of our method, the amount of training samples can be reduced on finer levels, hence significantly lowering the generation time for training data and the training time of our method.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(pdes)のための多レベル解法とニューラルネットワークに基づく深層学習の概念を結合し,高次元パラメトリックpdesの効率的な数値解法を提案する。 詳細な理論解析により,提案手法は,最微細メッシュの分解能に対数的にのみ依存する重み数で任意の精度でマルチグリッドvサイクルを近似できることを示した。 その結果、(確率的な)パラメータ次元に依存しないニューラルネットワークによるパラメトリックPDEの解に対する近似境界を導出することができる。 提案手法の性能は,不確実性定量化における共通ベンチマーク問題である高次元パラメトリック線形楕円型pdesで示される。 最先端のディープラーニングベースの解法よりも大幅に改善されている。 特に難しい例として,100パラメータ次元の高次元非アフィンガウシアン場とランダムクッキー問題を用いたランダム導電率について検討した。 提案手法のマルチレベル構造により,より微細なレベルにおいてトレーニングサンプルの量を削減できるため,トレーニングデータの生成時間とトレーニング時間を大幅に短縮することができる。

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