論文の概要: Helmholtzian Eigenmap: Topological feature discovery & edge flow learning from point cloud data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.07626v3
• Date: Tue, 31 Oct 2023 16:32:45 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-02 05:22:00.485442
• Title: Helmholtzian Eigenmap: Topological feature discovery & edge flow learning from point cloud data
• Title（参考訳）: helmholtzian eigenmap: ポイントクラウドデータからのトポロジ的特徴発見とエッジフロー学習
• Authors: Yu-Chia Chen, Weicheng Wu, Marina Meil\u{a}, Ioannis G. Kevrekidis
• Abstract要約: 非自明な設定で連続作用素に対する一貫した推定子として、単体複体から構築されたグラフヘルムホルツ多様体を提案する。 非自明な位相構造を持つ合成および実点クラウドデータセットにこれらの可能性を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.2671394819888455
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The manifold Helmholtzian (1-Laplacian) operator $\Delta_1$ elegantly generalizes the Laplace-Beltrami operator to vector fields on a manifold $\mathcal M$. In this work, we propose the estimation of the manifold Helmholtzian from point cloud data by a weighted 1-Laplacian $\mathcal L_1$. While higher order Laplacians have been introduced and studied, this work is the first to present a graph Helmholtzian constructed from a simplicial complex as a consistent estimator for the continuous operator in a non-parametric setting. Equipped with the geometric and topological information about $\mathcal M$, the Helmholtzian is a useful tool for the analysis of flows and vector fields on $\mathcal M$ via the Helmholtz-Hodge theorem. In addition, the $\mathcal L_1$ allows the smoothing, prediction, and feature extraction of the flows. We demonstrate these possibilities on substantial sets of synthetic and real point cloud datasets with non-trivial topological structures; and provide theoretical results on the limit of $\mathcal L_1$ to $\Delta_1$.
• Abstract（参考訳）: 多様体 helmholtzian (1-laplacian) operator $\delta_1$ はラプラス・ベルトラミ作用素を多様体 $\mathcal m$ 上のベクトル場にエレガントに一般化する。 本研究では,重み付き 1-Laplacian $\mathcal L_1$ による点雲データから多様体 Helmholtzian を推定する。 高階ラプラシアンは導入され研究されているが、この研究は非パラメトリックな設定における連続作用素の一貫した推定子として単純複体から構築されたグラフヘルムホルツ函数を初めて提示するものである。 ヘルムホルツ多様体は、$\mathcal M$に関する幾何学的および位相的情報と合わせて、ヘルムホルツ・ホッジの定理を通じて$\mathcal M$上のフローとベクトル場を解析するための有用なツールである。 さらに、$\mathcal L_1$はフローの滑らか化、予測、特徴抽出を可能にする。 非自明な位相構造を持つ合成および実点クラウドデータセットにこれらの可能性を示し、$\mathcal L_1$ から $\Delta_1$ の極限に関する理論的結果を提供する。

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