論文の概要: Bayesian neural networks for weak solution of PDEs with uncertainty quantification

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.04879v1
• Date: Wed, 13 Jan 2021 04:57:51 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-03-30 07:50:05.532513
• Title: Bayesian neural networks for weak solution of PDEs with uncertainty quantification
• Title（参考訳）: 不確実性定量化を伴うPDEの弱解に対するベイズニューラルネットワーク
• Authors: Xiaoxuan Zhang, Krishna Garikipati
• Abstract要約: ラベルなしでPDEを解くために、新しい物理制約ニューラルネットワーク(NN)アプローチが提案されている。 我々は,PDEの離散化残差に基づくNNの損失関数を,効率的で畳み込み演算子に基づくベクトル化実装により記述する。 本研究では, 定常拡散, 線形弾性, 非線形弾性に応用し, 提案フレームワークの性能と性能を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.4773470589069473
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Solving partial differential equations (PDEs) is the canonical approach for understanding the behavior of physical systems. However, large scale solutions of PDEs using state of the art discretization techniques remains an expensive proposition. In this work, a new physics-constrained neural network (NN) approach is proposed to solve PDEs without labels, with a view to enabling high-throughput solutions in support of design and decision-making. Distinct from existing physics-informed NN approaches, where the strong form or weak form of PDEs are used to construct the loss function, we write the loss function of NNs based on the discretized residual of PDEs through an efficient, convolutional operator-based, and vectorized implementation. We explore an encoder-decoder NN structure for both deterministic and probabilistic models, with Bayesian NNs (BNNs) for the latter, which allow us to quantify both epistemic uncertainty from model parameters and aleatoric uncertainty from noise in the data. For BNNs, the discretized residual is used to construct the likelihood function. In our approach, both deterministic and probabilistic convolutional layers are used to learn the applied boundary conditions (BCs) and to detect the problem domain. As both Dirichlet and Neumann BCs are specified as inputs to NNs, a single NN can solve for similar physics, but with different BCs and on a number of problem domains. The trained surrogate PDE solvers can also make interpolating and extrapolating (to a certain extent) predictions for BCs that they were not exposed to during training. Such surrogate models are of particular importance for problems, where similar types of PDEs need to be repeatedly solved for many times with slight variations. We demonstrate the capability and performance of the proposed framework by applying it to steady-state diffusion, linear elasticity, and nonlinear elasticity.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式 (PDE) を解くことは、物理系の振る舞いを理解するための標準的アプローチである。 しかし,PDEの最先端技術を用いた大規模解法は依然として高価である。 本研究では,設計と意思決定を支援する高スループットソリューションの実現を目的として,ラベル無しでpdesを解くための新しい物理制約付きニューラルネットワーク(nn)手法を提案する。 PDE の強い形や弱い形を用いて損失関数を構成する既存の物理情報処理NN のアプローチとは対照的に,PDE の離散化残差に基づく NN の損失関数を,効率的で畳み込み演算子に基づくベクトル化実装により記述する。 決定論的モデルと確率的モデルの両方のエンコーダ-デコーダnn構造について検討し、後者のベイズnn(bnns)を用いてモデルパラメータからの認識的不確実性とデータのノイズからのアレータ的不確実性の両方を定量化する。 BNN の場合、離散化残差は確率関数を構成するために用いられる。 提案手法では, 決定的および確率的畳み込み層を用いて, 適用境界条件(BC)を学習し, 問題領域を検出する。 ディリクレ (Dirichlet) とノイマン (Neumann) の BC は NN への入力として指定されるため、一つの NN は同様の物理に対して解けるが、BC と多くの問題領域では異なる。 訓練された代理PDEソルバは、訓練中に露出していないBCの補間および外挿(ある程度)予測を行うこともできる。 このようなサロゲートモデルは問題にとって特に重要であり、同様のタイプのPDEを若干のバリエーションで何度も繰り返し解決する必要がある。 本研究では, 定常拡散, 線形弾性, 非線形弾性に応用し, 提案フレームワークの性能と性能を示す。

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