論文の概要: On a matrix equality involving partial transposition and its relation to the separability problem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.06117v1
• Date: Tue, 13 Apr 2021 11:46:43 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-03 23:41:32.681828
• Title: On a matrix equality involving partial transposition and its relation to the separability problem
• Title（参考訳）: 部分転位を含む行列等式と分離可能性問題との関係について
• Authors: Vaibhav Soni, Rishone Deshwal, Aayush Garg, Rohit Kumar and Satyabrata Adhikari
• Abstract要約: 行列論において、確立された関係 $(AB)T=BTAT$ は、積 $AB$ が定義される任意の2つの行列 $A$ と $B$ に対して成り立つ。 行列等式 $(AB)Gamma=AGammaBGamma$ を、任意の 4 倍 4$ 行列 $A$ および $B$ に対して導出する可能性を探る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0867097571641349
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In matrix theory, a well established relation $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ holds for any two matrices $A$ and $B$ for which the product $AB$ is defined. Here $T$ denote the usual transposition. In this work, we explore the possibility of deriving the matrix equality $(AB)^{\Gamma}=A^{\Gamma}B^{\Gamma}$ for any $4 \times 4$ matrices $A$ and $B$, where $\Gamma$ denote the partial transposition. We found that, in general, $(AB)^{\Gamma}\neq A^{\Gamma}B^{\Gamma}$ holds for $4 \times 4$ matrices $A$ and $B$ but there exist particular set of $4 \times 4$ matrices for which $(AB)^{\Gamma}= A^{\Gamma}B^{\Gamma}$ holds. We have exploited this matrix equality to investigate the separability problem. Since it is possible to decompose the density matrices $\rho$ into two positive semi-definite matrices $A$ and $B$ so we are able to derive the separability condition for $\rho$ when $\rho^{\Gamma}=(AB)^{\Gamma}=A^{\Gamma}B^{\Gamma}$ holds. Due to the non-uniqueness property of the decomposition of the density matrix into two positive semi-definte matrices $A$ and $B$, there is a possibility to generalise the matrix equality for density matrices lives in higher dimension. These results may help in studying the separability problem for higher dimensional and multipartite system.
• Abstract（参考訳）: 行列論において、確立された関係 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ は、積 $AB$ が定義される任意の2つの行列に対して $A$ と $B$ を持つ。 ここで$T$は通常の転置を表す。 本研究では、行列の等式$(AB)^{\Gamma}=A^{\Gamma}B^{\Gamma}$を$4 \times 4$行列$A$および$B$に対して導出する可能性を探る。 一般に、$(AB)^{\Gamma}\neq A^{\Gamma}B^{\Gamma}$は$4 \times 4$ matrices $A$と$B$に対して成り立つが、$(AB)^{\Gamma}= A^{\Gamma}B^{\Gamma}$が持つ4 \times 4$ matricesの特別な集合が存在する。 我々はこの行列平等を利用して分離性問題を調査した。 密度行列 $\rho$ を 2 つの正半定値行列 $A$ と $B$ に分解できるので、$\rho$ の分離性条件は $\rho^{\Gamma}=(AB)^{\Gamma}=A^{\Gamma}B^{\Gamma} が成り立つときに導かれる。 密度行列を2つの正の半決定行列($A$と$B$)に分解する非特異性のため、密度行列の行列等式を高次元に一般化することができる。 これらの結果は、高次元および多粒子系の分離性問題の研究に役立つ。

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