論文の概要: Exact eigenvalue order statistics for the reduced density matrix of a
bipartite system
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.01022v3
- Date: Thu, 2 Dec 2021 16:47:05 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-12 16:16:59.036004
- Title: Exact eigenvalue order statistics for the reduced density matrix of a
bipartite system
- Title（参考訳）: 双極子系の還元密度行列の厳密な固有値順序統計
- Authors: B. Sharmila, V. Balakrishnan and S. Lakshmibala
- Abstract要約: eigenvalues $lambda_1(m),ldots, lambda_m(m)$ of $rho_A(m)$は相関確率変数である。
我々は,2部構造系のランダムな複素状態のアンサンブルに対応する順序付き固有値集合のヒストグラムを数値的に生成する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider the reduced density matrix $\rho_{A}^{(m)}$ of a bipartite system
$AB$ of dimensionality $mn$ in a Gaussian ensemble of random, complex pure
states of the composite system. For a given dimensionality $m$ of the subsystem
$A$, the eigenvalues $\lambda_{1}^{(m)},\ldots, \lambda_{m}^{(m)}$ of
$\rho_{A}^{(m)}$ are correlated random variables because their sum equals
unity. The following quantities are known, among others: The joint probability
density function (PDF) of the eigenvalues $\lambda_{1}^{(m)},\ldots,
\lambda_{m}^{(m)}$ of $\rho_{A}^{(m)}$, the PDFs of the smallest eigenvalue
$\lambda_{\rm min}^{(m)}$ and the largest eigenvalue $\lambda_{\rm max}^{(m)}$,
and the family of average values $\langle
\mathrm{Tr}\big(\rho_{A}^{(m)}\big)^{q}\rangle$ parametrised by $q$. Using
values of $m$ running from $2$ to $6$ for definiteness, we show that these
inputs suffice to identify and characterise the eigenvalue order statistics,
i.e., to obtain explicit analytic expressions for the PDFs of each of the $m$
eigenvalues arranged in ascending order from the smallest to the largest one.
When $m = n$ (respectively, $m < n$) these PDFs are polynomials of order
$m^{2}-2$ (respectively, $mn - 2$) with support in specific sub-intervals of
the unit interval, demarcated by appropriate unit step functions. Our exact
results are fully corroborated by numerically generated histograms of the
ordered set of eigenvalues corresponding to ensembles of over $10^{5}$ random
complex pure states of the bipartite system. Finally, we present the general
solution for arbitrary values of the subsystem dimensions $m$ and $n$, namely,
formal exact expressions for the PDFs of every ordered eigenvalue.
- Abstract（参考訳）: 複合系のランダムで複素な純粋状態のガウスアンサンブルにおいて、二成分系 $ab$ of dimensionality $mn$ の還元密度行列 $\rho_{a}^{(m)}$ を考える。
サブシステム $a$ の与えられた次元性 $m$ に対して、固有値 $\lambda_{1}^{(m)},\ldots, \lambda_{m}^{(m)}$ of $\rho_{a}^{(m)}$ は、それらの和がユニティに等しいので相関確率変数である。
固有値 $\lambda_{1}^{(m)},\ldots, \lambda_{m}^{(m)}$ of $\rho_{A}^{(m)}$, 最小固有値 $\lambda_{\rm min}^{(m)$, 最大固有値 $\lambda_{\rm max}^{(m)$, 平均値 $\langle \mathrm{Tr}\big(\rho_{A}^{(m)}\big)^{q}\rangle$parametrised $q$, 平均値 $\langle \mathrm{Tr}\big(\rho_{A}^{(m)}\big)^{q}\rangle$
定値化のために$m$ から$6$ の値を用いると、これらの入力は固有値の順序統計を識別して特徴付けるのに十分である、すなわち、最小から最大への順に並べられた$m$ 固有値の各 PDF の明示的な解析式を得るのに十分であることを示す。
m = n$ (respectively, $m < n$) のとき、これらのPDFは$m^{2}-2$ (respectively, $mn - 2$) の多項式であり、単位区間の特定の部分区間をサポートし、適切な単位ステップ関数によって区切られる。
我々の正確な結果は、二成分系の 10^{5}$ の無作為複素純状態に対応する順序付き固有値の集合の数値的ヒストグラムによって完全に裏付けられる。
最後に、サブシステム次元の任意の値に対する一般的な解である $m$ と $n$、つまり順序付けられたすべての固有値のpdfの形式的完全表現を示す。
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