論文の概要: Neural Stochastic Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.10249v1
• Date: Tue, 19 Oct 2021 20:35:37 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-10-22 17:37:46.505730
• Title: Neural Stochastic Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 神経確率偏微分方程式
• Authors: Cristopher Salvi, Maud Lemercier
• Abstract要約: 物理に着想を得たニューラルアーキテクチャの2つの重要なクラスの拡張を提供するニューラルSPDEモデルを導入する。 一方、一般的な神経-通常、制御され、粗い-微分方程式モデルをすべて拡張し、入ってくる情報を処理することができる。 一方、関数空間間のマッピングをモデル化するニューラルネットワークの最近の一般化であるNeural Operatorsを拡張して、複雑なSPDEソリューション演算子を学習することができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2183405753834562
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Stochastic partial differential equations (SPDEs) are the mathematical tool of choice to model complex spatio-temporal dynamics of systems subject to the influence of randomness. We introduce the Neural SPDE model providing an extension to two important classes of physics-inspired neural architectures. On the one hand, it extends all the popular neural -- ordinary, controlled, stochastic, rough -- differential equation models in that it is capable of processing incoming information even when the latter evolves in an infinite dimensional state space. On the other hand, it extends Neural Operators -- recent generalizations of neural networks modelling mappings between functional spaces -- in that it can be used to learn complex SPDE solution operators $(u_0,\xi) \mapsto u$ depending simultaneously on an initial condition $u_0$ and on a stochastic forcing term $\xi$, while remaining resolution-invariant and equation-agnostic. A Neural SPDE is constrained to respect real physical dynamics and consequently requires only a modest amount of data to train, depends on a significantly smaller amount of parameters and has better generalization properties compared to Neural Operators. Through various experiments on semilinear SPDEs with additive and multiplicative noise (including the stochastic Navier-Stokes equations) we demonstrate how Neural SPDEs can flexibly be used in a supervised learning setting as well as conditional generative models to sample solutions of SPDEs conditioned on prior knowledge, systematically achieving in both cases better performance than all alternative models.
• Abstract（参考訳）: 確率偏微分方程式(Stochastic partial differential equations、SPDE)は、ランダム性の影響を受ける系の複雑な時空間力学をモデル化するための数学的ツールである。 物理に着想を得たニューラルアーキテクチャの2つの重要なクラスの拡張を提供するニューラルSPDEモデルを導入する。 一方、通常の、制御された、確率的な、粗い、微分方程式のモデルを全て拡張し、後者が無限次元の状態空間で進化しても入ってくる情報を処理できる。 一方、ニューラル演算子(関数空間間のマッピングをモデル化するニューラルネットワークの最近の一般化)を拡張し、複雑なSPDEソリューション演算子$(u_0,\xi) \mapsto u$を初期条件$u_0$と確率論的強制項$\xi$で同時に学習するために使用できる。 ニューラルSPDEは実際の物理力学を尊重することを制約されており、従ってトレーニングするデータ量はわずかであり、非常に少ないパラメータに依存し、ニューラル演算子よりも優れた一般化特性を持つ。 加法と乗法ノイズ(確率ナビエ-ストークス方程式を含む)を持つ半線形spedの様々な実験を通じて、教師付き学習環境において神経spedが柔軟にどのように使用できるかを示し、また、条件付き生成モデルを用いて事前知識に基づくspedの解をサンプリングし、どちらのモデルよりも優れた性能を体系的に達成するかを実証する。

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