論文の概要: Learning knot invariants across dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.00016v1
- Date: Tue, 30 Nov 2021 19:00:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-12-02 15:58:57.640468
- Title: Learning knot invariants across dimensions
- Title（参考訳）: 次元にわたる結び目不変量を学ぶ
- Authors: Jessica Craven, Mark Hughes, Vishnu Jejjala, Arjun Kar
- Abstract要約: 2層フィードフォワードニューラルネットワークが$textKh(q,-q-4)$から$s$を99%以上の精度で予測できることを示す。
同様の性能が$textKh(q,-q-2)$から$s$の予測に見出され、これは結び目のホバノフとリーホモロジー理論の間の新しい関係を示唆している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We use deep neural networks to machine learn correlations between knot
invariants in various dimensions. The three-dimensional invariant of interest
is the Jones polynomial $J(q)$, and the four-dimensional invariants are the
Khovanov polynomial $\text{Kh}(q,t)$, smooth slice genus $g$, and Rasmussen's
$s$-invariant. We find that a two-layer feed-forward neural network can predict
$s$ from $\text{Kh}(q,-q^{-4})$ with greater than $99\%$ accuracy. A
theoretical explanation for this performance exists in knot theory via the now
disproven knight move conjecture, which is obeyed by all knots in our dataset.
More surprisingly, we find similar performance for the prediction of $s$ from
$\text{Kh}(q,-q^{-2})$, which suggests a novel relationship between the
Khovanov and Lee homology theories of a knot. The network predicts $g$ from
$\text{Kh}(q,t)$ with similarly high accuracy, and we discuss the extent to
which the machine is learning $s$ as opposed to $g$, since there is a general
inequality $|s| \leq 2g$. The Jones polynomial, as a three-dimensional
invariant, is not obviously related to $s$ or $g$, but the network achieves
greater than $95\%$ accuracy in predicting either from $J(q)$. Moreover,
similar accuracy can be achieved by evaluating $J(q)$ at roots of unity. This
suggests a relationship with $SU(2)$ Chern--Simons theory, and we review the
gauge theory construction of Khovanov homology which may be relevant for
explaining the network's performance.
- Abstract（参考訳）: 深層ニューラルネットワークを用いて様々な次元の結び目不変量間の相関関係を機械学習する。
興味のある3次元不変量はジョーンズ多項式 $j(q)$ であり、4次元不変量はホヴァノフ多項式 $\text{kh}(q,t)$、滑らかなスライス属 $g$、ラスムセンの $s$-invariant である。
2層フィードフォワードニューラルネットワークは、$99\%以上の精度で$\text{Kh}(q,-q^{-4})$から$s$を予測することができる。
この性能に関する理論的説明は、現在証明されていない騎士運動予想を通じて結び目理論に存在し、これはデータセットのすべての結び目によって従う。
さらに驚くべきことに、$\text{Kh}(q,-q^{-2})$から$s$の予測に類似した性能が得られ、これは結び目のホバノフとリーホモロジー理論の間の新しい関係を示唆している。
同様の精度で$g$を$\text{Kh}(q,t)$から予測し、一般的な不等式$|s| \leq 2g$が存在するため、$g$とは対照的に、マシンが$s$を学習している範囲について議論する。
3次元不変量としてのジョーンズ多項式は、明らかに$s$ や $g$ とは関係しないが、ネットワークは$j(q)$ から予測する場合に 95\% 以上の精度を達成している。
さらに、同様の精度はユニティの根で$J(q)$を評価することで達成できる。
これは$su(2)$チャーン=サイモンズ理論との関係を示唆し、ネットワークのパフォーマンスを説明するのに関係があるかもしれないホバノフホモロジーのゲージ理論構成を考察する。
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