論文の概要: On the continuous Zauner conjecture

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.05875v1
• Date: Sat, 11 Dec 2021 00:14:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-04 20:38:52.267284
• Title: On the continuous Zauner conjecture
• Title（参考訳）: 連続ザウナー予想について
• Authors: Danylo Yakymenko
• Abstract要約: 本稿では, [-frac1d2-1, frac1d+1] setminus0$ the equality $textebr(Phi_t)=d2$ is equivalent to a pair of a informationally complete unit norm tight frames。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In a recent paper by S.Pandey, V.Paulsen, J.Prakash, and M.Rahaman, the authors studied the entanglement breaking quantum channels $\Phi_t:\mathbb{C}^{d\times d} \to \mathbb{C}^{d \times d}$ for $t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}]$ defined by $\Phi_t(X) = tX+ (1-t)\text{Tr}(X) \frac{1}{d}I$. They proved that Zauner's conjecture is equivalent to the statement that entanglement breaking rank of $\Phi_{\frac{1}{d+1}}$ is $d^2$. The authors made the extended conjecture that $\text{ebr}(\Phi_t)=d^2$ for every $t \in [0, \frac{1}{d+1}]$ and proved it in dimensions 2 and 3. In this paper we prove that for any $t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}] \setminus\{0\}$ the equality $\text{ebr}(\Phi_t)=d^2$ is equivalent to the existence of a pair of informationally complete unit norm tight frames $\{|x_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}, \{|y_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}$ in $\mathbb{C}^d $ which are mutually unbiased in a certain sense. That is, for any $i\neq j$ it holds that $|\langle x_i|y_j\rangle|^2 = \frac{1-t}{d}$ and $|\langle x_i|y_i\rangle|^2 = \frac{t(d^2-1)+1}{d}$ (also it follows that $|\langle x_i|x_j\rangle\langle y_i|y_j\rangle|=|t|$). Though, our numerical searches for solutions were not successful in dimensions 4 and 5 for values of $t$ other than $0$ or $\frac{1}{d+1}$.
• Abstract（参考訳）: S.Pandey, V.Paulsen, J.Prakash, M.Rahaman の最近の論文で、著者らはエンタングルメント破壊量子チャネル $\Phi_t:\mathbb{C}^{d\times d} \to \mathbb{C}^{d \times d}$ for $t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}]$ $\Phi_t(X) = tX+ (1-t)\text{Tr}(X) \frac{1}{d}I$ について研究した。 彼らは、ザウナー予想が$\Phi_{\frac{1}{d+1}}$の絡み合いが$d^2$であるという主張と等価であることを証明した。 著者らは、$\text{ebr}(\Phi_t)=d^2$ for every $t \in [0, \frac{1}{d+1}]$を拡張予想し、次元 2 と 3 で証明した。 本稿では、任意の$t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}] \setminus\{0\}$ the equal $\text{ebr}(\phi_t)=d^2$ について、ある意味で互いに偏りのない$\mathbb{c}^d$ において、情報完全単位ノルムのタイトフレーム $\{|x_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}, \{|y_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}$ の存在と同値であることを証明する。 つまり、任意の$i\neq j$に対して、$|\langle x_i|y_j\rangle|^2 = \frac{1-t}{d}$と$|\langle x_i|y_i\rangle|^2 = \frac{t(d^2-1)+1}{d}$である。 しかし, 0$ あるいは $\frac{1}{d+1}$ 以外の$t$ の値については, 4 次元と 5 次元での数値探索は成功しなかった。

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