論文の概要: Non-linear Embeddings in Hilbert Simplex Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.11434v2
• Date: Wed, 19 Jul 2023 06:17:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-20 18:33:14.723314
• Title: Non-linear Embeddings in Hilbert Simplex Geometry
• Title（参考訳）: Hilbert Simplex Geometryにおける非線形埋め込み
• Authors: Frank Nielsen and Ke Sun
• Abstract要約: 機械学習とコンピュータビジョンの重要な技術は、離散重み付きグラフを連続した空間に埋め込んで、さらに下流の処理を行うことである。 本稿では、変分ポリトープノルムを備えたベクトル空間に等長な標準単純群に対するヒルベルト幾何を考える。 以上の結果から,ヒルベルト単純幾何は,ポアンカーの双曲球やユークリッド幾何学などの代替幾何学と競合し,高速かつ数値的に頑健であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.338743324947474
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A key technique of machine learning and computer vision is to embed discrete weighted graphs into continuous spaces for further downstream processing. Embedding discrete hierarchical structures in hyperbolic geometry has proven very successful since it was shown that any weighted tree can be embedded in that geometry with arbitrary low distortion. Various optimization methods for hyperbolic embeddings based on common models of hyperbolic geometry have been studied. In this paper, we consider Hilbert geometry for the standard simplex which is isometric to a vector space equipped with the variation polytope norm. We study the representation power of this Hilbert simplex geometry by embedding distance matrices of graphs. Our findings demonstrate that Hilbert simplex geometry is competitive to alternative geometries such as the Poincar\'e hyperbolic ball or the Euclidean geometry for embedding tasks while being fast and numerically robust.
• Abstract（参考訳）: 機械学習とコンピュータビジョンの重要なテクニックは、さらに下流処理のために離散重み付きグラフを連続空間に埋め込むことである。 双曲幾何学に離散階層構造を埋め込むことは、任意の低歪みを持つ重み付き木をその幾何学に埋め込むことが示され、非常に成功した。 双曲幾何学の共通モデルに基づく双曲埋め込みの様々な最適化手法が研究されている。 本稿では、変分ポリトープノルムを備えたベクトル空間に等尺な標準単純集合に対してヒルベルト幾何学を考える。 グラフの距離行列の埋め込みによるヒルベルト単純幾何学の表現力について検討する。 以上の結果から,ヒルベルトの単純幾何幾何学はポアンカーの双曲球やユークリッド幾何学のような代替幾何学と競合し,高速かつ数値的に頑健であることを示す。

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