論文の概要: Matrix product operator algebras I: representations of weak Hopf
algebras and projected entangled pair states
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2204.05940v2
- Date: Wed, 29 Jun 2022 13:53:26 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-17 05:25:04.379669
- Title: Matrix product operator algebras I: representations of weak Hopf
algebras and projected entangled pair states
- Title（参考訳）: 行列積作用素代数 i:弱いホップ代数の表現と射影された絡み合った対状態
- Authors: Andras Molnar, Alberto Ruiz de Alarc\'on, Jos\'e Garre-Rubio, Norbert
Schuch, J. Ignacio Cirac, David P\'erez-Garc\'ia
- Abstract要約: Matrix Product Operators (MPOs) は、1Dシステムに作用する演算子を表す。
MPOは非自明な対称性の代数を表現するのに用いられる。
ホップ代数に対するキタエフの量子二重モデルを構成するためにMPOが利用できることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5872014229110214
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Matrix Product Operators (MPOs) are tensor networks representing operators
acting on 1D systems. They model a wide variety of situations, including
communication channels with memory effects, quantum cellular automata, mixed
states in 1D quantum systems, or holographic boundary models associated to 2D
quantum systems. A scenario where MPOs have proven particularly useful is to
represent algebras of non-trivial symmetries. Concretely, the boundary of both
symmetry protected and topologically ordered phases in 2D quantum systems
exhibit symmetries in the form of MPOs.
In this paper, we develop a theory of MPOs as representations of algebraic
structures. We establish a dictionary between algebra and MPO properties which
allows to transfer results between both setups, covering the cases of
pre-bialgebras, weak bialgebras, and weak Hopf algebras. We define the notion
of pulling-through algebras, which abstracts the minimal requirements needed to
define topologically ordered 2D tensor networks from MPO algebras. We show, as
one of our main results, that any semisimple pivotal weak Hopf algebra is a
pulling-trough algebra. We demonstrate the power of this framework by showing
that they can be used to construct Kitaev's quantum double models for Hopf
algebras solely from an MPO representation of the Hopf algebra, in the exact
same way as MPO symmetries obtained from fusion categories can be used to
construct Levin-Wen string-net models, and to explain all their topological
features; it thus allows to describe both Kitaev and string-net models on the
same formal footing.
- Abstract（参考訳）: Matrix Product Operators (MPOs) は、1Dシステムに作用する演算子を表すテンソルネットワークである。
それらは、メモリ効果のある通信チャネル、量子セルオートマトン、1次元量子系の混合状態、または2次元量子系に関連するホログラフィック境界モデルなど、幅広い状況をモデル化する。
MPOが特に有用であることが証明されたシナリオは、非自明な対称性の代数を表現することである。
具体的には、2次元量子系の対称性保護相と位相秩序相の境界は、MPOの形で対称性を示す。
本稿では,代数構造の表現としてのMPOの理論を開発する。
我々は代数とMPO特性の間の辞書を構築し、両方のセットアップ間で結果を転送し、前二元代数、弱い双元代数、弱いホップ代数のケースをカバーする。
我々は、MPO代数から位相的に順序付けられた2次元テンソルネットワークを定義するのに必要な最小限の要件を抽象化するプルスルー代数の概念を定義する。
主な結果の1つとして、任意の半単純 pivotal weak hopf algebra はプル・トラフ代数であることを示した。
この枠組みのパワーは、ホップ代数の mpo 表現からのみ、ホップ代数に対するキタエフの量子二重モデルを構築するために、融合圏から得られる mpo 対称性と全く同じ方法で、レヴィン=ウェン弦ネットモデルを構築し、それらの位相的特徴を全て説明するために使用できることを示し、キタエフモデルとストリング-ネットモデルの両方を同じ形式的基底上で記述することができる。
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