Fugu-MT 論文翻訳(概要): On the speed of uniform convergence in Mercer's theorem

論文の概要: On the speed of uniform convergence in Mercer's theorem

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.00487v1
Date: Sun, 1 May 2022 15:07:57 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2022-05-03 16:39:38.019410
Title: On the speed of uniform convergence in Mercer's theorem
Title（参考訳）: マーサーの定理における一様収束の速度について
Authors: Rustem Takhanov
Abstract要約: コンパクト集合上の連続正定核 $K(mathbf x, mathbf y)$ は $sum_i=1infty lambda_iphi_i(mathbf x)phi_i(mathbf y)$ と表すことができ、$(lambda_i,phi_i)$ は対応する積分作用素の固有値-固有ベクトル対である。固有値の減衰速度からこの収束速度を推定し、300万ドルで証明する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 6.028247638616059
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: The classical Mercer's theorem claims that a continuous positive definite kernel $K({\mathbf x}, {\mathbf y})$ on a compact set can be represented as $\sum_{i=1}^\infty \lambda_i\phi_i({\mathbf x})\phi_i({\mathbf y})$ where $\{(\lambda_i,\phi_i)\}$ are eigenvalue-eigenvector pairs of the corresponding integral operator. This infinite representation is known to converge uniformly to the kernel $K$. We estimate the speed of this convergence in terms of the decay rate of eigenvalues and demonstrate that for $3m$ times differentiable kernels the first $N$ terms of the series approximate $K$ as $\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda_i)^{\frac{m}{m+n}}\big)$ or $\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda^2_i)^{\frac{m}{2m+n}}\big)$.
Abstract（参考訳）: 古典的なマーサーの定理は、コンパクト集合上の連続正定値核 $k({\mathbf x}, {\mathbf y})$ は、対応する積分作用素の固有値-固有ベクトル対であるなら、$\sum_{i=1}^\infty \lambda_i\phi_i({\mathbf x})\phi_i({\mathbf y})$ と表現できると主張する。この無限表現はカーネル$K$に一様収束することが知られている。固有値の崩壊率からこの収束速度を推定し、3m$倍の微分可能な核に対して、級数の最初の$N$項は$K$ as $\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda_i)^{\frac{m}{m+n}}\big)$ or $\mathcal{O}\big((\sum_{i=N+1}^\infty\lambda^2_i)^{\frac{m}{2m+n}}\big)$であることを示す。

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