論文の概要: Infinite series involving special functions obtained using simple one-dimensional quantum mechanical problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.10126v3
- Date: Thu, 20 Mar 2025 10:14:47 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-21 15:30:51.842067
- Title: Infinite series involving special functions obtained using simple one-dimensional quantum mechanical problems
- Title（参考訳）: 単純1次元量子力学的問題を用いた特殊関数を含む無限級数
- Authors: Sonja Gombar, Milica Rutonjski, Petar Mali, Slobodan Radošević, Milan Pantić, Milica Pavkov-Hrvojević,
- Abstract要約: 本稿では、特殊関数を含む無限和のあるクラスを解析的に評価する。
L_nu2n+1-nuleft(fracnu+22;frac32;frac12right)$ is generalized hypergeometric function, $L_nu2n+1-nuleft(fracnu+22;frac32;frac12right)$は整数$nu$に対して計算される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In this paper certain classes of infinite sums involving special functions are evaluated analytically by application of basic quantum mechanical principles to simple models of half harmonic oscillator and a particle trapped inside an infinite potential well. The infinite sums $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}\Gamma^{2}\left(n+\frac{3}{2}\right)\left[\hspace{0.2mm}_2\hspace{-0.03cm}F_1\left(-n,\frac{\nu+2}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\right]^{2}$, $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left[L_{\nu}^{2n+1-\nu}\left(\frac{b^{2}}{2}\right)\right]^{2}b^{4n}}{2^{2n}(2n+1)!}$ and $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\big[J_{\nu+1}(n\pi)\big]^{2}}{n^{2\nu}}$, where $_2\hspace{-0.03cm}F_1\left(-n,\frac{\nu+2}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ is generalized hypergeometric function, $L_{\nu}^{2n+1-\nu}\left(\frac{b^{2}}{2}\right)$ associated Laguerre polynomial and $J_{\nu+1}(n\pi)$ Bessel function of the first kind, are calculated for integer $\nu$. It is also demonstrated that the same procedure can be generalized by application to some classes of functions which are not regular wave functions leading to additional infinite sums, as a consequence of which the series $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[\mathsf{H}_{\nu}(n\pi)\right]^{2}}{n^{2\nu}}$ containing Struve functions of the first kind $\mathsf{H}_{\nu}(n\pi)$ are evaluated. Convergence of the evaluated series, additionally verified by the application of different convergence tests, is secured by the properties of the corresponding Hilbert space.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、半調和振動子と無限ポテンシャル井戸内に閉じ込められた粒子の単純なモデルに対する基本量子力学的原理の適用により、特殊関数を含む無限和のクラスを解析的に評価する。
無限和 $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2^{2n}}{(2n+1)!
}\Gamma^{2}\left(n+\frac{3}{2}\right)\left[\hspace{0.2mm}_2\hspace{-0.03cm}F_1\left(-n,\frac{\nu+2}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\right]^{2}$, $\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\left[L_{\nu}^{2n+1-\nu}\left(\frac{b^{2}}{2}\right)\right]^{2}b^{4n}}{2^{2n}(2n+1)!
for $_2\hspace{-0.03cm}F_1\left(-n,\frac{\nu+2}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ is generalized hypergeometric function, $L_{\nu}^{2n+1-\nu}\left(\frac{b^{2}}{2}\right)$ associated Laguerre polynomial and $J_{\nu+1}(n\pi)$ Bessel function of the first kind.
また、同じ手順は、通常の波動関数ではなく、追加の無限和へと導く関数のクラスに適用することで一般化できることが示され、従って級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[\mathsf{H}_{\nu}(n\pi)\right]^{2}}{n^{2\nu}}$ が $\mathsf{H}_{\nu}(n\pi)$ のストルーブ函数を含む級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[\mathsf{H}_{\nu}(n\pi)\right] が評価される。
異なる収束テストの適用によってさらに検証された評価級数の収束は、対応するヒルベルト空間の性質によって確保される。
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