論文の概要: Algebraic Machine Learning with an Application to Chemistry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.05795v3
• Date: Sat, 17 Feb 2024 00:19:23 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-21 07:45:09.833333
• Title: Algebraic Machine Learning with an Application to Chemistry
• Title（参考訳）: 代数機械学習と化学への応用
• Authors: Ezzeddine El Sai, Parker Gara, Markus J. Pflaum
• Abstract要約: 我々はスムーズな仮定に頼ることなく、微粒な幾何学的情報をキャプチャする機械学習パイプラインを開発した。 特に,基礎変数の特異点近傍にある点を数値的に検出する手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: As datasets used in scientific applications become more complex, studying the geometry and topology of data has become an increasingly prevalent part of the data analysis process. This can be seen for example with the growing interest in topological tools such as persistent homology. However, on the one hand, topological tools are inherently limited to providing only coarse information about the underlying space of the data. On the other hand, more geometric approaches rely predominately on the manifold hypothesis, which asserts that the underlying space is a smooth manifold. This assumption fails for many physical models where the underlying space contains singularities. In this paper we develop a machine learning pipeline that captures fine-grain geometric information without having to rely on any smoothness assumptions. Our approach involves working within the scope of algebraic geometry and algebraic varieties instead of differential geometry and smooth manifolds. In the setting of the variety hypothesis, the learning problem becomes to find the underlying variety using sample data. We cast this learning problem into a Maximum A Posteriori optimization problem which we solve in terms of an eigenvalue computation. Having found the underlying variety, we explore the use of Gr\"obner bases and numerical methods to reveal information about its geometry. In particular, we propose a heuristic for numerically detecting points lying near the singular locus of the underlying variety.
• Abstract（参考訳）: 科学応用で使われるデータセットが複雑化するにつれて、データの幾何学とトポロジを研究することが、データ分析プロセスにおいてますます普及している。 これは例えば、永続ホモロジーのようなトポロジカルツールへの関心が高まる中で見られる。 しかし、トポロジカルツールは本質的に、データの基本空間に関する粗い情報のみを提供することに限られている。 一方、より幾何学的なアプローチは、基礎となる空間が滑らかな多様体であると主張する多様体仮説に優先的に依拠する。 この仮定は、基礎空間が特異点を含む多くの物理モデルに対して失敗する。 本稿では,スムーズな仮定を必要とせず,微粒な幾何学的情報を捉える機械学習パイプラインを開発する。 この手法は微分幾何学や滑らかな多様体の代わりに代数幾何学や代数多様体の範囲内で働く。 バラエティ仮説の設定では、サンプルデータを用いて基礎となるバラエティを見つけることが学習問題となる。 我々は、この学習問題を、固有値計算の観点で解決する最大Aポストエリオリ最適化問題に投入した。 基礎となる多様体を見出し, gr\"obner基底と数値解法を用いてその幾何学的情報を明らかにする。 特に,基礎となる多様体の特異点近傍にある点を数値的に検出するためのヒューリスティックを提案する。

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