論文の概要: Computational Analysis of Deformable Manifolds: from Geometric Modelling
to Deep Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2009.01786v1
- Date: Thu, 3 Sep 2020 16:50:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-10-22 07:26:20.687947
- Title: Computational Analysis of Deformable Manifolds: from Geometric Modelling
to Deep Learning
- Title（参考訳）: 変形可能な多様体の計算解析:幾何学的モデリングからディープラーニングへ
- Authors: Stefan C Schonsheck
- Abstract要約: 非平坦空間の多様性が豊富な研究領域を提供することを示す。
形状処理とデータ解析のための幾何学的手法について検討する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Leo Tolstoy opened his monumental novel Anna Karenina with the now famous
words: Happy families are all alike; every unhappy family is unhappy in its own
way A similar notion also applies to mathematical spaces: Every flat space is
alike; every unflat space is unflat in its own way. However, rather than being
a source of unhappiness, we will show that the diversity of non-flat spaces
provides a rich area of study. The genesis of the so-called big data era and
the proliferation of social and scientific databases of increasing size has led
to a need for algorithms that can efficiently process, analyze and, even
generate high dimensional data. However, the curse of dimensionality leads to
the fact that many classical approaches do not scale well with respect to the
size of these problems. One technique to avoid some of these ill-effects is to
exploit the geometric structure of coherent data. In this thesis, we will
explore geometric methods for shape processing and data analysis. More
specifically, we will study techniques for representing manifolds and signals
supported on them through a variety of mathematical tools including, but not
limited to, computational differential geometry, variational PDE modeling, and
deep learning. First, we will explore non-isometric shape matching through
variational modeling. Next, we will use ideas from parallel transport on
manifolds to generalize convolution and convolutional neural networks to
deformable manifolds. Finally, we conclude by proposing a novel auto-regressive
model for capturing the intrinsic geometry and topology of data. Throughout
this work, we will use the idea of computing correspondences as a though-line
to both motivate our work and analyze our results.
- Abstract（参考訳）: レオ・トルストイ(Leo Tolstoy)は、彼の有名な小説『Anna Karenina』で、"Happy family are all alike; all unhappy family are unhappy in their own way"と題して発表した。
しかし、不幸の源となるのではなく、非平坦空間の多様性が豊富な研究領域を提供することを示す。
いわゆるビッグデータの時代と、規模が大きくなる社会や科学のデータベースの普及は、高次元データを効率的に処理し、分析し、さらに生成するアルゴリズムの必要性を招いている。
しかし、次元の呪いは、多くの古典的アプローチがこれらの問題のサイズに関してうまくスケールしないという事実をもたらす。
これらの悪影響を避ける方法の1つは、コヒーレントデータの幾何学的構造を利用することである。
本稿では形状処理とデータ解析のための幾何学的手法を検討する。
より具体的には、計算微分幾何学、変分PDEモデリング、深層学習など、多種多様な数学的ツールを用いて、その上に支持される多様体や信号を表現する技術について研究する。
まず,変分モデルによる非等尺形状マッチングについて検討する。
次に、多様体上の平行輸送のアイデアを用いて、畳み込みと畳み込みニューラルネットワークを変形可能な多様体に一般化する。
最後に,データの本質的幾何学とトポロジーを捉えるための新しい自己回帰モデルを提案する。
この作業を通じて、私たちは、仕事の動機付けと結果分析の両面で、コンピュータ対応の考え方を使います。
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