論文の概要: Compressive Fourier collocation methods for high-dimensional diffusion equations with periodic boundary conditions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2206.01255v4
• Date: Tue, 29 Aug 2023 23:41:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-08-31 18:25:30.622447
• Title: Compressive Fourier collocation methods for high-dimensional diffusion equations with periodic boundary conditions
• Title（参考訳）: 周期境界条件をもつ高次元拡散方程式に対する圧縮フーリエコロケーション法
• Authors: Weiqi Wang and Simone Brugiapaglia
• Abstract要約: 高次元偏微分方程式(英: High-dimensional partial Differential Equations, PDE)は、ファイナンスから計算化学まで多岐にわたる数学モデリングツールである。 これらのPDEを解くための標準的な数値技術は、典型的には次元の呪いの影響を受けている。 高次元におけるスパース関数近似の最近の進歩に触発されて、圧縮フーリエコロケーションと呼ばれる新しい手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.80387197350208
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: High-dimensional Partial Differential Equations (PDEs) are a popular mathematical modelling tool, with applications ranging from finance to computational chemistry. However, standard numerical techniques for solving these PDEs are typically affected by the curse of dimensionality. In this work, we tackle this challenge while focusing on stationary diffusion equations defined over a high-dimensional domain with periodic boundary conditions. Inspired by recent progress in sparse function approximation in high dimensions, we propose a new method called compressive Fourier collocation. Combining ideas from compressive sensing and spectral collocation, our method replaces the use of structured collocation grids with Monte Carlo sampling and employs sparse recovery techniques, such as orthogonal matching pursuit and $\ell^1$ minimization, to approximate the Fourier coefficients of the PDE solution. We conduct a rigorous theoretical analysis showing that the approximation error of the proposed method is comparable with the best $s$-term approximation (with respect to the Fourier basis) to the solution. Using the recently introduced framework of random sampling in bounded Riesz systems, our analysis shows that the compressive Fourier collocation method mitigates the curse of dimensionality with respect to the number of collocation points under sufficient conditions on the regularity of the diffusion coefficient. We also present numerical experiments that illustrate the accuracy and stability of the method for the approximation of sparse and compressible solutions.
• Abstract（参考訳）: 高次元偏微分方程式(英: High-dimensional partial Differential Equations, PDE)は、ファイナンスから計算化学まで多岐にわたる数学モデリングツールである。 しかしながら、これらのPDEを解くための標準的な数値手法は、一般に次元の呪いの影響を受けている。 本研究では,周期境界条件を持つ高次元領域上で定義される定常拡散方程式に着目しながら,この問題に取り組む。 高次元におけるスパース関数近似の最近の進歩に触発されて, 圧縮フーリエコロケーションと呼ばれる新しい手法を提案する。 圧縮センシングとスペクトルコロケーションのアイデアを組み合わせることで,構造化コロケーショングリッドをモンテカルロサンプリングに置き換え,直交マッチング追従法や$\ell^1$最小化法などのスパースリカバリ技術を用いてpde溶液のフーリエ係数を近似する。 提案手法の近似誤差が解に対する(フーリエ基底に関して)最良の$s$項近似に匹敵することを示す厳密な理論解析を行う。 最近導入された有界リース系におけるランダムサンプリングの枠組みを用いて, 圧縮フーリエコロケーション法は, 拡散係数の正則性に関する十分な条件下でのコロケーション点数に対して, 次元の呪いを緩和することを示した。 また, 分散解と圧縮解の近似法について, 精度と安定性を示す数値実験を行った。

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