論文の概要: DiffNet: Neural Field Solutions of Parametric Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.01601v1
• Date: Mon, 4 Oct 2021 17:59:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-10-05 15:04:00.918581
• Title: DiffNet: Neural Field Solutions of Parametric Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 微分ネット:パラメトリック偏微分方程式の神経場解
• Authors: Biswajit Khara, Aditya Balu, Ameya Joshi, Soumik Sarkar, Chinmay Hegde, Adarsh Krishnamurthy, Baskar Ganapathysubramanian
• Abstract要約: 我々は、ニューラルネットワークをトレーニングし、PDEに対するソリューションのフィールド予測を生成するメッシュベースのアプローチを検討する。 パラメトリック楕円PDE上の有限要素法(FEM)に基づく重み付きガレルキン損失関数を用いる。 PDE に対する有限要素解に展開されたメッシュ収束解析に類似した,理論的に検証し,実験により考察する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 30.80582606420882
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider a mesh-based approach for training a neural network to produce field predictions of solutions to parametric partial differential equations (PDEs). This approach contrasts current approaches for ``neural PDE solvers'' that employ collocation-based methods to make point-wise predictions of solutions to PDEs. This approach has the advantage of naturally enforcing different boundary conditions as well as ease of invoking well-developed PDE theory -- including analysis of numerical stability and convergence -- to obtain capacity bounds for our proposed neural networks in discretized domains. We explore our mesh-based strategy, called DiffNet, using a weighted Galerkin loss function based on the Finite Element Method (FEM) on a parametric elliptic PDE. The weighted Galerkin loss (FEM loss) is similar to an energy functional that produces improved solutions, satisfies \textit{a priori} mesh convergence, and can model Dirichlet and Neumann boundary conditions. We prove theoretically, and illustrate with experiments, convergence results analogous to mesh convergence analysis deployed in finite element solutions to PDEs. These results suggest that a mesh-based neural network approach serves as a promising approach for solving parametric PDEs.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークをトレーニングするメッシュベースのアプローチでパラメトリック偏微分方程式(PDE)の解の場予測を行う。 このアプローチは、コロケーションに基づく手法を用いてPDEに対する解のポイントワイズ予測を行う「ニューラルPDEソルバ」に対する現在のアプローチとは対照的である。 このアプローチは、異なる境界条件を自然に強制するだけでなく、数値安定性と収束の解析を含むよく開発されたpde理論を、離散化された領域で提案するニューラルネットワークの容量境界を得るのを容易にするという利点がある。 我々は、パラメトリック楕円型PDE上の有限要素法(FEM)に基づく重み付きガレルキン損失関数を用いて、DiffNetと呼ばれるメッシュベースの戦略を探索する。 重み付きガレルキン損失(fem損失)は、改良された解を生み出し、 \textit{a priori}メッシュ収束を満たすエネルギー汎関数と似ており、ディリクレとノイマン境界条件をモデル化することができる。 我々は理論的に証明し,実験により,有限要素解に展開したメッシュ収束解析に類似した収束結果を示す。 これらの結果は、メッシュベースのニューラルネットワークアプローチがパラメトリックPDEを解決するための有望なアプローチであることを示している。

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