論文の概要: Spectral operator learning for parametric PDEs without data reliance
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.02013v1
- Date: Tue, 3 Oct 2023 12:37:15 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-04 14:17:44.194985
- Title: Spectral operator learning for parametric PDEs without data reliance
- Title（参考訳）: データ依存のないパラメトリックpdesのスペクトル演算子学習
- Authors: Junho Choi, Taehyun Yun, Namjung Kim, Youngjoon Hong
- Abstract要約: 本研究では,データ活用を必要とせずにパラメトリック偏微分方程式(PDE)を解く演算子に基づく新しい手法を提案する。
提案手法は,既存の科学的機械学習技術と比較して優れた性能を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.7083321695379885
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: In this paper, we introduce the Spectral Coefficient Learning via Operator
Network (SCLON), a novel operator learning-based approach for solving
parametric partial differential equations (PDEs) without the need for data
harnessing. The cornerstone of our method is the spectral methodology that
employs expansions using orthogonal functions, such as Fourier series and
Legendre polynomials, enabling accurate PDE solutions with fewer grid points.
By merging the merits of spectral methods - encompassing high accuracy,
efficiency, generalization, and the exact fulfillment of boundary conditions -
with the prowess of deep neural networks, SCLON offers a transformative
strategy. Our approach not only eliminates the need for paired input-output
training data, which typically requires extensive numerical computations, but
also effectively learns and predicts solutions of complex parametric PDEs,
ranging from singularly perturbed convection-diffusion equations to the
Navier-Stokes equations. The proposed framework demonstrates superior
performance compared to existing scientific machine learning techniques,
offering solutions for multiple instances of parametric PDEs without harnessing
data. The mathematical framework is robust and reliable, with a well-developed
loss function derived from the weak formulation, ensuring accurate
approximation of solutions while exactly satisfying boundary conditions. The
method's efficacy is further illustrated through its ability to accurately
predict intricate natural behaviors like the Kolmogorov flow and boundary
layers. In essence, our work pioneers a compelling avenue for parametric PDE
solutions, serving as a bridge between traditional numerical methodologies and
cutting-edge machine learning techniques in the realm of scientific
computation.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,パラメータ偏微分方程式(PDE)をデータ活用の必要なく,演算子ネットワークを用いたスペクトル係数学習(SCLON)を提案する。
本手法の基盤はフーリエ級数やルジャンドル多項式などの直交関数を用いた拡張を用いたスペクトル方法論であり,格子点の少ない正確なPDE解を実現する。
スペクトル法の利点(高精度、効率、一般化、境界条件の正確な充足を含む)をディープニューラルネットワークの長所と組み合わせることで、SCLONは変換戦略を提供する。
提案手法では,ペア入力出力トレーニングデータの必要性を解消するだけでなく,複雑なパラメトリックPDEの解を,特異摂動対流拡散方程式からNavier-Stokes方程式まで効果的に学習し,予測する。
提案フレームワークは既存の科学的機械学習技術と比較して優れた性能を示し,データを活用することなくパラメトリックPDEの複数インスタンスに対するソリューションを提供する。
数学的枠組みは堅牢で信頼性が高く、弱い定式化から導かれるよく発達した損失関数は、境界条件を正確に満たしながら解の正確な近似を保証する。
この手法の有効性は、コルモゴロフ流や境界層のような複雑な自然挙動を正確に予測する能力によってさらに示される。
本質的に、我々の研究は、従来の数値手法と最先端の機械学習技術の橋渡しとして、科学計算の領域におけるパラメトリックPDEソリューションの魅力的な道を開いた。
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