論文の概要: The Sketched Wasserstein Distance for mixture distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2206.12768v1
• Date: Sun, 26 Jun 2022 02:33:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-06-28 16:22:57.927226
• Title: The Sketched Wasserstein Distance for mixture distributions
• Title（参考訳）: 混合分布に対するSketched Wasserstein Distance
• Authors: Xin Bing and Florentina Bunea and Jonathan Niles-Weed
• Abstract要約: スケッチド・ワッサースタイン距離(英: Sketched Wasserstein Distance)(WS$)は、有限混合分布に特化された新しい確率距離である。 我々は、$WS$が、$mathcalS = textrmconv(mathcalA)$ の要素の混合の空間に最も区別できるものとして定義されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.643197515573029
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Sketched Wasserstein Distance ($W^S$) is a new probability distance specifically tailored to finite mixture distributions. Given any metric $d$ defined on a set $\mathcal{A}$ of probability distributions, $W^S$ is defined to be the most discriminative convex extension of this metric to the space $\mathcal{S} = \textrm{conv}(\mathcal{A})$ of mixtures of elements of $\mathcal{A}$. Our representation theorem shows that the space $(\mathcal{S}, W^S)$ constructed in this way is isomorphic to a Wasserstein space over $\mathcal{X} = (\mathcal{A}, d)$. This result establishes a universality property for the Wasserstein distances, revealing them to be uniquely characterized by their discriminative power for finite mixtures. We exploit this representation theorem to propose an estimation methodology based on Kantorovich--Rubenstein duality, and prove a general theorem that shows that its estimation error can be bounded by the sum of the errors of estimating the mixture weights and the mixture components, for any estimators of these quantities. We derive sharp statistical properties for the estimated $W^S$ in the case of $p$-dimensional discrete $K$-mixtures, which we show can be estimated at a rate proportional to $\sqrt{K/N}$, up to logarithmic factors. We complement these bounds with a minimax lower bound on the risk of estimating the Wasserstein distance between distributions on a $K$-point metric space, which matches our upper bound up to logarithmic factors. This result is the first nearly tight minimax lower bound for estimating the Wasserstein distance between discrete distributions. Furthermore, we construct $\sqrt{N}$ asymptotically normal estimators of the mixture weights, and derive a $\sqrt{N}$ distributional limit of our estimator of $W^S$ as a consequence. Simulation studies and a data analysis provide strong support on the applicability of the new Sketched Wasserstein Distance.
• Abstract（参考訳）: スケッチド・ワッサースタイン距離(Sketched Wasserstein Distance)(W^S$)は、有限混合分布に特化された新しい確率距離である。 確率分布の集合 $\mathcal{a}$ 上で定義される任意の計量 $d$ に対して、$w^s$ は、$\mathcal{a}$ の元の混合の空間 $\mathcal{s} = \textrm{conv}(\mathcal{a})$ へのこの計量の最も差別的な凸拡大であると定義される。 我々の表現定理は、この方法で構築された空間 $(\mathcal{S}, W^S)$ が、$\mathcal{X} = (\mathcal{A}, d)$ 上のワッサーシュタイン空間に同型であることを示している。 この結果はワッサーシュタイン距離の普遍性を確立し、それらが有限混合に対する識別力によって一意に特徴づけられることを示した。 この表現定理を利用して、カントロビッチ-ルベンシュタイン双対性に基づく推定手法を提案し、その推定誤差が、混合重みと混合成分を推定する誤差の和で有界であることを示す一般的な定理を、これらの量の推定者に対して証明する。 我々は、$p$-次元離散$K$-混合の場合、推定された$W^S$に対して鋭い統計特性を導出し、これは対数因子まで$\sqrt{K/N}$に比例して推定できることを示す。 我々はこれらの境界を、K$ポイント計量空間上の分布間のワッサーシュタイン距離を推定するリスクに基づいてミニマックス下界で補う。 この結果は、離散分布間のワッサースタイン距離を推定する最初のほとんどタイトなミニマックス下限である。 さらに、混合重みの漸近的に正規な推定器を$\sqrt{N}$で構築し、その結果、W^S$の推定器の分布極限を$\sqrt{N}$で導き出す。 シミュレーション研究とデータ解析は、新しいスケッチされたwaserstein距離の適用性を強く支持する。

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