論文の概要: Depth-based pseudo-metrics between probability distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.12711v1
• Date: Tue, 23 Mar 2021 17:33:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-03-24 16:23:51.653501
• Title: Depth-based pseudo-metrics between probability distributions
• Title（参考訳）: 確率分布間の深さに基づく擬似計量
• Authors: Guillaume Staerman, Pavlo Mozharovskyi, St\'ephan Cl\'emen\c{c}on and Florence d'Alch\'e-Buc
• Abstract要約: 本研究では,データ深度に基づく連続確率測度と関連する中央領域の2つの疑似測度を提案する。 Wasserstein距離とは対照的に、提案された疑似メトリックは次元の呪いに苦しむことはない。 地域ベースの擬似メトリックは堅牢なw.r.tである。 両端と尾が重い。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1470070927586016
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Data depth is a non parametric statistical tool that measures centrality of any element $x\in\mathbb{R}^d$ with respect to (w.r.t.) a probability distribution or a data set. It is a natural median-oriented extension of the cumulative distribution function (cdf) to the multivariate case. Consequently, its upper level sets -- the depth-trimmed regions -- give rise to a definition of multivariate quantiles. In this work, we propose two new pseudo-metrics between continuous probability measures based on data depth and its associated central regions. The first one is constructed as the Lp-distance between data depth w.r.t. each distribution while the second one relies on the Hausdorff distance between their quantile regions. It can further be seen as an original way to extend the one-dimensional formulae of the Wasserstein distance, which involves quantiles and cdfs, to the multivariate space. After discussing the properties of these pseudo-metrics and providing conditions under which they define a distance, we highlight similarities with the Wasserstein distance. Interestingly, the derived non-asymptotic bounds show that in contrast to the Wasserstein distance, the proposed pseudo-metrics do not suffer from the curse of dimensionality. Moreover, based on the support function of a convex body, we propose an efficient approximation possessing linear time complexity w.r.t. the size of the data set and its dimension. The quality of this approximation as well as the performance of the proposed approach are illustrated in experiments. Furthermore, by construction the regions-based pseudo-metric appears to be robust w.r.t. both outliers and heavy tails, a behavior witnessed in the numerical experiments.
• Abstract（参考訳）: データ深度は、(w.r.t) に関する任意の元 $x\in\mathbb{R}^d$ の集中度を測定する非パラメトリック統計ツールである。 確率分布またはデータセット。 これは多変数の場合への累積分布関数(cdf)の自然な中央値指向拡張である。 その結果、その上層集合、すなわち深さトリミングされた領域は、多変量体の定義をもたらす。 本研究では,データ深度に基づく連続確率測度と関連する中心領域の2つの新しい擬似測度を提案する。 1つ目はデータ深度w.r.t間のlp距離として構築される。 それぞれの分布は、第2の分布は、その分位域の間のハウスドルフ距離に依存する。 これはさらに、分位数とcdfを含むワッサースタイン距離の1次元公式を多変量空間に拡張する元の方法と見なすことができる。 これらの擬計量の性質を議論し、距離を定義する条件を与えると、ワッサーシュタイン距離との類似性が強調される。 興味深いことに、導出された非漸近的境界は、ワッサーシュタイン距離とは対照的に、提案された擬計量は次元の呪いを伴わないことを示している。 さらに,凸体の支持関数に基づいて,線形時間複雑性 w.r.t を持つ効率的な近似を提案する。 データセットのサイズとその次元です この近似の質と提案手法の性能は実験で示される。 さらに、構成により、領域ベースの擬計量はロバスト w.r.t であるように見える。 アウトリアーとヘビーテールの両方が数値実験で見られた挙動である。

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