論文の概要: Error Analysis of Tensor-Train Cross Approximation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.04327v3
• Date: Sat, 24 Jun 2023 17:25:37 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-28 01:08:11.351711
• Title: Error Analysis of Tensor-Train Cross Approximation
• Title（参考訳）: テンソル-トレインクロス近似の誤差解析
• Authors: Zhen Qin, Alexander Lidiak, Zhexuan Gong, Gongguo Tang, Michael B. Wakin and Zhihui Zhu
• Abstract要約: 我々は, テンソル全体の精度保証を行う。 結果は数値実験により検証され、高次テンソルに対するクロス近似の有用性に重要な意味を持つ可能性がある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 88.83467216606778
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Tensor train decomposition is widely used in machine learning and quantum physics due to its concise representation of high-dimensional tensors, overcoming the curse of dimensionality. Cross approximation-originally developed for representing a matrix from a set of selected rows and columns-is an efficient method for constructing a tensor train decomposition of a tensor from few of its entries. While tensor train cross approximation has achieved remarkable performance in practical applications, its theoretical analysis, in particular regarding the error of the approximation, is so far lacking. To our knowledge, existing results only provide element-wise approximation accuracy guarantees, which lead to a very loose bound when extended to the entire tensor. In this paper, we bridge this gap by providing accuracy guarantees in terms of the entire tensor for both exact and noisy measurements. Our results illustrate how the choice of selected subtensors affects the quality of the cross approximation and that the approximation error caused by model error and/or measurement error may not grow exponentially with the order of the tensor. These results are verified by numerical experiments, and may have important implications for the usefulness of cross approximations for high-order tensors, such as those encountered in the description of quantum many-body states.
• Abstract（参考訳）: テンソルトレイン分解は、高次元テンソルの簡潔な表現のため、機械学習や量子物理学で広く用いられている。 行列を選択された行と列の集合から表現するクロス近似は、テンソルのテンソルトレイン分解を構成する効率的な方法である。 テンソルトレインのクロス近似は実用上顕著な性能を達成しているが、その理論解析、特に近似の誤差についてはまだ不十分である。 我々の知る限り、既存の結果は要素ワイズ近似の精度を保証するだけであり、テンソル全体に拡張すると非常にゆるい境界となる。 本稿では, テンソル全体の精度保証を, 精度と雑音の両面において提供することにより, このギャップを埋める。 以上の結果から,選択したサブテンソルの選択がクロス近似の品質にどのように影響するかを示し,モデル誤差や測定誤差による近似誤差がテンソルの次数で指数関数的に増加することはないことを示した。 これらの結果は数値実験によって検証され、量子多体状態の記述に見られるような高次テンソルに対するクロス近似の有用性に重要な意味を持つ。

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