論文の概要: A new method for determining Wasserstein 1 optimal transport maps from Kantorovich potentials, with deep learning applications

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.00820v1
• Date: Wed, 2 Nov 2022 01:54:09 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-03 12:00:31.290219
• Title: A new method for determining Wasserstein 1 optimal transport maps from Kantorovich potentials, with deep learning applications
• Title（参考訳）: カントロヴィチポテンシャルを用いたwaserstein 1最適輸送写像の新しい決定法と深層学習への応用
• Authors: Tristan Milne, \'Etienne Bilocq, Adrian Nachman
• Abstract要約: ワッサーシュタイン 1 の最適輸送写像は、2つの確率分布の点間の自然な対応を与える。 本稿では,関東ロビチポテンシャルのみに依存するワッサーシュタイン1最適輸送写像の計算手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.867363075280544
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Wasserstein 1 optimal transport maps provide a natural correspondence between points from two probability distributions, $\mu$ and $\nu$, which is useful in many applications. Available algorithms for computing these maps do not appear to scale well to high dimensions. In deep learning applications, efficient algorithms have been developed for approximating solutions of the dual problem, known as Kantorovich potentials, using neural networks (e.g. [Gulrajani et al., 2017]). Importantly, such algorithms work well in high dimensions. In this paper we present an approach towards computing Wasserstein 1 optimal transport maps that relies only on Kantorovich potentials. In general, a Wasserstein 1 optimal transport map is not unique and is not computable from a potential alone. Our main result is to prove that if $\mu$ has a density and $\nu$ is supported on a submanifold of codimension at least 2, an optimal transport map is unique and can be written explicitly in terms of a potential. These assumptions are natural in many image processing contexts and other applications. When the Kantorovich potential is only known approximately, our result motivates an iterative procedure wherein data is moved in optimal directions and with the correct average displacement. Since this provides an approach for transforming one distribution to another, it can be used as a multipurpose algorithm for various transport problems; we demonstrate through several proof of concept experiments that this algorithm successfully performs various imaging tasks, such as denoising, generation, translation and deblurring, which normally require specialized techniques.
• Abstract（参考訳）: wasserstein 1 最適輸送写像は、2つの確率分布から得られる点、$\mu$ と $\nu$ の自然な対応を提供する。 これらの地図を計算するための利用可能なアルゴリズムは、高次元に対してうまくスケールしていないように見える。 ディープラーニングアプリケーションでは、ニューラルネットワーク(例えば[gulrajani et al., 2017])を使用して、カントロヴィチポテンシャルと呼ばれる双対問題の解を近似する効率的なアルゴリズムが開発されている。 重要なことに、そのようなアルゴリズムは高次元でうまく機能する。 本稿では,関東ロビチポテンシャルのみに依存するワッサーシュタイン1最適輸送マップの計算手法を提案する。 一般に、ワッサーシュタイン 1 の最適輸送写像は一意ではなく、ポテンシャルのみから計算もできない。 我々の主な結果は、もし$\mu$ が密度を持ち、$\nu$ が少なくとも 2 の余次元の部分多様体上でサポートされているなら、最適な輸送写像は一意であり、ポテンシャルの観点で明示的に書けることを証明することである。 これらの仮定は、多くの画像処理コンテキストや他のアプリケーションで自然である。 関東ロビッチポテンシャルが概ね知られている場合, 最適方向にデータを移動させ, 正確な平均変位を補正する反復的手順を導出する。 この手法は, 様々な輸送問題に対する多目的アルゴリズムとして利用することができるため, 本アルゴリズムは, 通常, 特殊な技術を必要とするデノジング, 生成, 翻訳, およびデブロアリングなど, 様々な画像処理タスクを正常に実行できることを, 概念実証実験を通じて実証する。

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