論文の概要: An Interlacing Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of Some Infinite Dimensional Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03900v1
• Date: Wed, 7 Dec 2022 19:00:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-09 18:06:45.862170
• Title: An Interlacing Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of Some Infinite Dimensional Operators
• Title（参考訳）: 無限次元作用素の固有値とシンプレクティック固有値の間のインターレース関係
• Authors: Tiju Cherian John, V. B. Kiran Kumar, and Anmary Tonny
• Abstract要約: 可算スペクトルを持つ無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値のインターレース関係を証明した。 この理論と積分作用素の理論を結びつける興味深い疑問が開問題として残されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Williamson's Normal form for $2n\times 2n$ real positive matrices is a symplectic analogue of the spectral theorem for normal matrices. With the recent developments in quantum information theory, Williamson's normal form has opened up an active research area that may be dubbed as ``finite dimensional symplectic spectral theory" analogous to the usual spectral theory and matrix analysis. An infinite dimensional analogue of the Williamson's Normal form has appeared recently and has already become a corner stone for the theory of infinite mode quantum Gaussian states. In this article, we obtain some results in the direction of ``infinite dimensional symplectic spectral theory". We prove an interlacing relation between the eigenvalues and symplectic eigenvalues of a special class of infinite-dimensional operators with countable spectrum. We show that for any operator $S$ in this class and for $j \in \mathbb{N}$, $d_j^\downarrow(S) \leq \lambda_j^\downarrow(S),$ and $\lambda_j^\uparrow(S) \leq d_j^\uparrow(S)$, where $d_j(S)$ and $ \lambda_{j}(S)$ are the symplectic eigenvalues and eigenvalues of $S$, respectively (arranged in decreasing order they will be denoted by $d_j^\downarrow(S), \lambda_j^\downarrow(S)$ and in increasing order by $d_j^\uparrow(S), \lambda_j^\uparrow(S)$). This generalizes a finite dimensional result obtained by Bhatia and Jain (J. Math. Phys. 56, 112201 (2015)). The class of Gaussian Covariance Operators (GCO) and positive Absolutely Norm attaining Operators ($(\mathcal{AN})_+$ operators) appear as special cases of the class we consider. Furthermore, we illustrate our result on some concrete cases and derive necessary conditions for an integral operator to be a GCO or an $(\mathcal{AN})_+$ operator. An interesting question connecting this theory and the theory of integral operators is left as an open question.
• Abstract（参考訳）: 2n\times 2n$ real positive matrices に対するウィリアムソンの正規形式は、正規行列のスペクトル定理のシンプレクティックな類似物である。 With the recent developments in quantum information theory, Williamson's normal form has opened up an active research area that may be dubbed as ``finite dimensional symplectic spectral theory" analogous to the usual spectral theory and matrix analysis. An infinite dimensional analogue of the Williamson's Normal form has appeared recently and has already become a corner stone for the theory of infinite mode quantum Gaussian states. In this article, we obtain some results in the direction of ``infinite dimensional symplectic spectral theory". 可算スペクトルを持つ無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値のインターレース関係を証明した。 このクラスの任意の演算子$S$に対して、$j \in \mathbb{N}$, $d_j^\downarrow(S) \leq \lambda_j^\downarrow(S)$と$\lambda_j^\uparrow(S)$に対して、$d_j(S)$と$ \lambda_{j}(S)$は、それぞれ$S$のシンプレクティック固有値と固有値である。 これは Bhatia と Jain (J) によって得られる有限次元の結果を一般化する。 数学 Phys 56, 112201 (2015)). ガウス共分散作用素(GCO)のクラスと正の絶対ノルムの演算子($(\mathcal{AN})_+$演算子)は、我々が考慮するクラスの特別な場合として現れる。 さらに,いくつかの具体例での結果を示し,積分作用素が gco または $(\mathcal{an})_+$ 作用素となるために必要な条件を導出する。 この理論と積分作用素の理論を結びつける興味深い疑問が開問題として残されている。

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