論文の概要: Mapping the space of quantum expectation values
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.13111v1
- Date: Thu, 19 Oct 2023 19:17:42 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-24 01:26:45.892179
- Title: Mapping the space of quantum expectation values
- Title（参考訳）: 量子期待値の空間をマッピングする
- Authors: Seraphim Jarov and Mark Van Raamsdonk
- Abstract要約: ヒルベルト空間 $cal H$ of dimension $N$ を持つ量子系の場合、基本的な問題は集合 $E_S の部分集合 mathbbRn$ of points $vece$ を理解することである。
関連する質問は、与えられた期待値のセット$vec$が$E_S$にあるかどうかを決定することである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: For a quantum system with Hilbert space ${\cal H}$ of dimension $N$ and a set
$S$ of $n$ Hermitian operators ${\cal O}_i$, a basic question is to understand
the set $E_S \subset \mathbb{R}^n$ of points $\vec{e}$ where $e_i = {\rm
tr}(\rho {\cal O}_i)$ for an allowed state $\rho$. A related question is to
determine whether a given set of expectation values $\vec{e}$ lies in $E_S$ and
in this case to describe the most general state with these expectation values.
In this paper, we describe various ways to characterize $E_S$, reviewing basic
results that are perhaps not widely known and adding new ones. One important
result (originally due to E. Wichmann) is that for a set $S$ of linearly
independent traceless operators, every set of expectation values $\vec{e}$ in
the interior of $E_S$ is achieved uniquely by a state of the form
$\rho({\vec{\beta}}) = e^{-\sum_i \beta_i {\cal O}_i}/{\rm tr}(e^{-\sum_i
\beta_i {\cal O}_i})$ for ${\cal O}_i \in S$. In fact, the map $\vec{\beta} \to
\vec{E}(\vec{\beta}) = {\rm tr}(\vec{\cal O} \rho({\vec{\beta}}))$ is a
diffeomorphism from $\mathbb{R}^n$ to the interior of $E_S$ with symmetric,
positive Jacobian; using this fact, we provide an algorithm to invert
$\vec{E}(\vec{\beta})$ and thus determine a state
$\rho({\vec{\beta}(\vec{e})})$ with specified expectation values $\vec{e}$
provided that these lie in $E_S$. The algorithm is based on defining a first
order differential equation in the space of parameters $\vec{\beta}$ that is
guaranteed to converge to $\vec{\beta}(\vec{e})$ in a precise way, with
$|\vec{E}(\vec{\beta}(t)) - \vec{e}| = C e^{-t}$.
- Abstract（参考訳）: ヒルベルト空間 ${\cal h}$ of dimension $n$ とセット $n$ hermitian operator ${\cal o}_i$ を持つ量子系に対して、基本的な質問は、許可された状態 $\rho$ に対して$e_i = {\rm tr}(\rho {\cal o}_i)$ が成立する点のセット $e_s \subset \mathbb{r}^n$ of points $\vec{e}$ を理解することである。
関連する質問は、与えられた期待値のセット$\vec{e}$が$e_s$であるかどうかを判断することであり、この場合、最も一般的な状態をこれらの期待値で記述する。
本稿では、$E_S$を特徴付ける様々な方法を説明し、おそらく広くは知られていない基本結果をレビューし、新しいものを追加する。
1つの重要な結果(元は e. wichmann による)は、線型独立なトレースレス作用素のセット $s$ に対して、$e_s$ の内部での期待値 $\vec{e}$ は、$\rho({\vec{\beta}}) = e^{-\sum_i \beta_i {\cal o}_i}/{\rm tr}(e^{-\sum_i \beta_i {\cal o}_i})$ for ${\cal o}_i \in s$ という形式の状態によって一意に達成される。
実際、写像 $\vec{\beta} \to \vec{E}(\vec{\beta}) = {\rm tr}(\vec{\cal O} \rho({\vec{\beta}}))$ is a diffeomorphism from $\mathbb{R}^n$ to the interior of $E_S$ with symmetric, positive Jacobian; this fact, we provide a algorithm to invert $\vec{E}(\vec{\beta})$ and determine a state $\rho({\vec{\beta}(\vec{\beta})}$ with certain expectation value $\vec{e}$ provided for $E_S$。
このアルゴリズムは、パラメータの空間における一階微分方程式を定義することに基づいており、$\vec{\beta}(\vec{e})$に正確に収束することを保証し、$|\vec{E}(\vec{\beta}(t)) - \vec{e}| = C e^{-t}$である。
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