論文の概要: An Order Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of a
Class of Infinite Dimensional Operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03900v2
- Date: Sat, 24 Jun 2023 18:48:10 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-28 00:19:09.443003
- Title: An Order Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of a
Class of Infinite Dimensional Operators
- Title（参考訳）: 無限次元作用素のクラスにおける固有値とシンプレクティック固有値の順序関係
- Authors: Tiju Cherian John, V. B. Kiran Kumar, and Anmary Tonny
- Abstract要約: 無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値の間の不等式を証明する。
d_jRdownarrow(T) leq d_jLuparrow(T) leq d_jLuparrow(T) quad j = 1,2, cdots, s_r$$と$$lambda_jLuparrow(T) leq d_jLuparrow(T) leq d_jLuparrow(T)
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this article, we obtain some results in the direction of ``infinite
dimensional symplectic spectral theory". We prove an inequality between the
eigenvalues and symplectic eigenvalues of a special class of infinite
dimensional operators. Let $T$ be an operator such that $T - \alpha I$ is
compact for some $\alpha > 0$. Denote by $\{{\lambda_j^R}^\downarrow(T)\}$, the
set of eigenvalues of $T$ lying strictly to the right side of $\alpha$ arranged
in the decreasing order and let $\{{\lambda_j^L}^\uparrow(T)\}$ denote the set
of eigenvalues of $T$ lying strictly to the left side of $\alpha$ arranged in
the increasing order. Furthermore, let $\{{d_j^R}^\downarrow(T)\}$ denote the
symplectic eigenvalues of $T$ lying strictly to the right of $\alpha$ arranged
in decreasing order and $\{{d_j^L}^\uparrow(T)\}$ denote the set of symplectic
eigenvalues of $T$ lying strictly to the left of $\alpha$ arranged in
increasing order, respectively (such an arrangement is possible as it will be
shown that the only possible accumulation point for the symplectic eigenvalues
is $\alpha$). Then by considering different cases with respect to the
cardinality of the eigenvalues of $T$ we show that $${d_j^R}^\downarrow(T) \leq
{\lambda_j^R}^\downarrow(T), \quad j = 1,2, \cdots, s_r$$ and
$${\lambda_j^L}^\uparrow(T) \leq {d_j^L}^\uparrow(T), \quad j = 1,2, \cdots,
s_l,$$ where $s_r$ and $s_l$ denote the number of symplectic eigenvalues of $T$
strictly to the right and left of $\alpha$, respectively. This generalizes a
finite dimensional result obtained by Bhatia and Jain (J. Math. Phys. 56,
112201 (2015)). The class of Gaussian Covariance Operators (GCO) and positive
Absolutely Norm attaining Operators ($(\mathcal{AN})_+$ operators) appear as
special cases of the set of operators we consider.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,「無限次元シンプレクティックスペクトル論」の方向性に関するいくつかの結果を得る。
無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値の間の不等式を証明する。
T$ を、ある $\alpha > 0$ に対して $T - \alpha I$ がコンパクトであるような作用素とする。
注意:$\{{\lambda_j^R}^\downarrow(T)\}$、$T$の固有値の集合を$\alpha$の右辺に厳密に配置し、$\{{\lambda_j^L}^\uparrow(T)\}$を$T$の固有値の集合を$\alpha$の左辺に厳密に配置する。
さらに、$\{{d_j^r}^\downarrow(t)\}$ を減少順序で配列された$\alpha$ の右に厳密に横たわる$t$ のシンプレクティック固有値、$\{d_j^l}^\uparrow(t)\}$ をそれぞれ$\alpha$ の左に厳密に配置された$t$ のシンプレクティック固有値の集合とする(このような配置は、シンプレクティック固有値の蓄積点が$\alpha$ であることを示すことができる)。
このとき、$t$の固有値の濃度について異なる場合を考えることにより、${d_j^r}^\downarrow(t) \leq {\lambda_j^r}^\downarrow(t), \quad j = 1,2, \cdots, s_r$ および$$$${\lambda_j^l}^\uparrow(t) \leq {d_j^l}^\uparrow(t), \quad j = 1,2, \cdots, s_l,$ where $s_l$ はそれぞれ$t$のシンプレクティック固有値の数を表す。
これは Bhatia と Jain (J) によって得られる有限次元の結果を一般化する。
数学
Phys
56, 112201 (2015)).
ガウス共分散作用素(GCO)のクラスと正の絶対ノルムの演算子($(\mathcal{AN})_+$演算子)は、我々が考慮する作用素の集合の特別な場合として現れる。
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