論文の概要: An Order Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of a Class of Infinite-Dimensional Operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03900v3
- Date: Sat, 29 Jun 2024 19:24:36 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-02 18:29:26.349091
- Title: An Order Relation between Eigenvalues and Symplectic Eigenvalues of a Class of Infinite-Dimensional Operators
- Title(参考訳): 無限次元作用素群の固有値とシンプレクティック固有値の順序関係
- Authors: Tiju Cherian John, V. B. Kiran Kumar, Anmary Tonny,
- Abstract要約: 無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値の間の不等式を証明する。
シンプレクティック固有値の唯一の集積点は$alpha$である。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this article, we obtain some results in the direction of ``infinite dimensional symplectic spectral theory". We prove an inequality between the eigenvalues and symplectic eigenvalues of a special class of infinite dimensional operators. Let $T$ be an operator such that $T - \alpha I$ is compact for some $\alpha > 0$. Denote by $\{{\lambda_j^R}^\downarrow(T)\}$, the set of eigenvalues of $T$ lying strictly to the right side of $\alpha$ arranged in the decreasing order and let $\{{\lambda_j^L}^\uparrow(T)\}$ denote the set of eigenvalues of $T$ lying strictly to the left side of $\alpha$ arranged in the increasing order. Furthermore, let $\{{d_j^R}^\downarrow(T)\}$ denote the symplectic eigenvalues of $T$ lying strictly to the right of $\alpha$ arranged in decreasing order and $\{{d_j^L}^\uparrow(T)\}$ denote the set of symplectic eigenvalues of $T$ lying strictly to the left of $\alpha$ arranged in increasing order, respectively (such an arrangement is possible as it will be shown that the only possible accumulation point for the symplectic eigenvalues is $\alpha$). Then we show that $${d_j^R}^\downarrow(T) \leq {\lambda_j^R}^\downarrow(T), \quad j = 1,2, \cdots, s_r$$ and $${\lambda_j^L}^\uparrow(T) \leq {d_j^L}^\uparrow(T), \quad j = 1,2, \cdots, s_l,$$ where $s_r$ and $s_l$ denote the number of symplectic eigenvalues of $T$ strictly to the right and left of $\alpha$, respectively. This generalizes a finite dimensional result obtained by Bhatia and Jain (J. Math. Phys. 56, 112201 (2015)). The class of Gaussian Covariance Operators (GCO) and positive Absolutely Norm attaining Operators ($(\mathcal{A}\mathcal{N})_+$ operators) appear as special cases of the set of operators we consider.
- Abstract(参考訳): 本稿では,「無限次元シンプレクティックスペクトル論」の方向性に関するいくつかの結果を得る。
無限次元作用素の特殊クラスの固有値とシンプレクティック固有値の間の不等式を証明する。
T$ を、ある $\alpha > 0$ に対して $T - \alpha I$ がコンパクトであるような作用素とする。
注意:$\{{\lambda_j^R}^\downarrow(T)\}$、$T$の固有値の集合を$\alpha$の右辺に厳密に配置し、$\{{\lambda_j^L}^\uparrow(T)\}$を$T$の固有値の集合を$\alpha$の左辺に厳密に配置する。
さらに、${d_j^R}^\downarrow(T)\}$は$T$のシンプレクティック固有値の右辺が$\alpha$、${d_j^L}^\uparrow(T)\}$は$T$のシンプレクティック固有値の左辺が$\alpha$の右辺が$\alpha$であることを示す(この配置はシンプレクティック固有値の唯一の累積点が$\alpha$であることを示すことができる)。
次に、${d_j^R}^\downarrow(T) \leq {\lambda_j^R}^\downarrow(T) \quad j = 1,2, \cdots, s_r$$$および$$${\lambda_j^L}^\uparrow(T) \leq {d_j^L}^\uparrow(T) \quad j = 1,2, \cdots, s_l,$ ここで$s_r$と$s_l$はそれぞれ$Tのシンプレクティック固有値の数を表す。
これは Bhatia と Jain (J) によって得られる有限次元の結果を一般化する。
数学。
Phys
56, 112201 (2015)。
ガウス共分散作用素のクラス(GCO)と正の絶対ノルムの演算子((\mathcal{A}\mathcal{N})_+$演算子)は、我々が考慮する作用素の集合の特別な場合として現れる。
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