論文の概要: Monte Carlo Neural Operator for Learning PDEs via Probabilistic Representation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.05104v1
• Date: Fri, 10 Feb 2023 08:05:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-13 16:21:41.344024
• Title: Monte Carlo Neural Operator for Learning PDEs via Probabilistic Representation
• Title（参考訳）: 確率的表現によるPDE学習のためのモンテカルロニューラル演算子
• Authors: Rui Zhang, Qi Meng, Rongchan Zhu, Yue Wang, Wenlei Shi, Shihua Zhang, Zhi-Ming Ma, Tie-Yan Liu
• Abstract要約: ニューラルネットワークは、偏微分方程式(PDE)系の解写像を近似するためにディープニューラルネットワークを使用する。 We developed a new loss function based on the Feynman-Kac formula and called the developed Neural operator Monte-Carlo Neural Operator (MCNO) 解析の結果,MCNOは複雑な空間条件や時間的ステップを扱う上で,他の教師なし手法と比較して有利であることがわかった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 73.59112655492976
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators, which use deep neural networks to approximate the solution mappings of partial differential equation (PDE) systems, are emerging as a new paradigm for PDE simulation. The neural operators could be trained in supervised or unsupervised ways, i.e., by using the generated data or the PDE information. The unsupervised training approach is essential when data generation is costly or the data is less qualified (e.g., insufficient and noisy). However, its performance and efficiency have plenty of room for improvement. To this end, we design a new loss function based on the Feynman-Kac formula and call the developed neural operator Monte-Carlo Neural Operator (MCNO), which can allow larger temporal steps and efficiently handle fractional diffusion operators. Our analyses show that MCNO has advantages in handling complex spatial conditions and larger temporal steps compared with other unsupervised methods. Furthermore, MCNO is more robust with the perturbation raised by the numerical scheme and operator approximation. Numerical experiments on the diffusion equation and Navier-Stokes equation show significant accuracy improvement compared with other unsupervised baselines, especially for the vibrated initial condition and long-time simulation settings.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークを用いて偏微分方程式(PDE)系の解写像を近似するニューラル演算子が,PDEシミュレーションの新たなパラダイムとして登場した。 神経オペレータは、例えば生成されたデータやPDE情報を使用して、教師なしまたは教師なしの方法で訓練することができる。 教師なしのトレーニングアプローチは、データ生成が費用がかかるか、データの資格が低い場合(例えば、不十分でノイズ)に必須である。 しかし、その性能と効率性は改善の余地が十分にある。 この目的のために、Feynman-Kac式に基づく新たな損失関数を設計し、開発したニューラル演算子 Monte-Carlo Neural Operator (MCNO) を呼び出し、時間ステップを大きくし、分数拡散演算子を効率的に扱うことができる。 解析の結果,MCNOは複雑な空間条件や時間的ステップを扱う上で,他の教師なし手法と比較して有利であることがわかった。 さらに、MCNOは数値スキームと演算子近似によって引き起こされる摂動によりより堅牢である。 拡散方程式とナビエ・ストークス方程式の数値実験は、他の教師なしベースライン、特に振動初期条件と長時間のシミュレーション設定において、有意な精度の向上を示した。

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